微积分学示例

$x^{\frac{6}{7}} + y^{\frac{8}{5}} = 9$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{6}{7}} + y^{\frac{8}{5}}) = \frac{d}{d x} (9)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{\frac{6}{7}} + y^{\frac{8}{5}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{6}{7}$ 。

$\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

解题步骤 2.2.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

解题步骤 2.2.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

解题步骤 2.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{6}{7} x^{\frac{6 - 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

解题步骤 2.2.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$\frac{6}{7} x^{\frac{6 - 7}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

解题步骤 2.2.5.2

从 $6$ 中减去 $7$ 。

$\frac{6}{7} x^{\frac{- 1}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

解题步骤 2.2.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{8}{5}}$ 且 $g (x) = y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{8}{5}}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{8}{5}$ 。

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} u^{\frac{8}{5} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8}{5} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8}{5} - 1} y'$

解题步骤 2.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} y'$

解题步骤 2.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} y'$

解题步骤 2.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8 - 1 \cdot 5}{5}} y'$

解题步骤 2.3.6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8 - 5}{5}} y'$

解题步骤 2.3.6.2

从 $8$ 中减去 $5$ 。

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{3}{5}} y'$

解题步骤 2.3.7

组合 $\frac{8}{5}$ 和 $y^{\frac{3}{5}}$ 。

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}}}{5} y'$

解题步骤 2.3.8

组合 $\frac{8 y^{\frac{3}{5}}}{5}$ 和 $y'$ 。

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5}$

解题步骤 2.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{6}{7} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5}$

解题步骤 2.4.2

将 $\frac{6}{7}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{7}}}$ 。

$\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5}$

解题步骤 3

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5} = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将 $\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5}$ 中的因式重新排序。

$\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{5} = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$ 。

$\frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{5} = - \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

解题步骤 5.3

等式两边同时乘以 $\frac{5}{8}$ 。

$\frac{5}{8} \cdot \frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{5} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

解题步骤 5.4

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1.1

化简 $\frac{5}{8} \cdot \frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{5}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1.1.1

合并。

$\frac{5 (8 y' y^{\frac{3}{5}})}{8 \cdot 5} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

解题步骤 5.4.1.1.2

约去公因数。

$\frac{5 (8 y' y^{\frac{3}{5}})}{8 \cdot 5} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

解题步骤 5.4.1.1.3

重写表达式。

$\frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{8} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

解题步骤 5.4.1.1.4

约去公因数。

$\frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{8} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

解题步骤 5.4.1.1.5

用 $y' y^{\frac{3}{5}}$ 除以 $1$ 。

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

解题步骤 5.4.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.2.1

化简 $\frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.2.1.1.1

将 $- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$ 中前置负号移到分子中。

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{8} \cdot \frac{- 6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

解题步骤 5.4.2.1.1.2

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{2 (4)} \cdot \frac{- 6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

解题步骤 5.4.2.1.1.3

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2 \cdot - 3}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

解题步骤 5.4.2.1.1.4

约去公因数。

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2 \cdot - 3}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

解题步骤 5.4.2.1.1.5

重写表达式。

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{4} \cdot \frac{- 3}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

解题步骤 5.4.2.1.2

将 $\frac{5}{4}$ 乘以 $\frac{- 3}{7 x^{\frac{1}{7}}}$ 。

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5 \cdot - 3}{4 (7 x^{\frac{1}{7}})}$

解题步骤 5.4.2.1.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.2.1.3.1

将 $5$ 乘以 $- 3$ 。

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{- 15}{4 (7 x^{\frac{1}{7}})}$

解题步骤 5.4.2.1.3.2

将 $7$ 乘以 $4$ 。

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{- 15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$

解题步骤 5.4.2.1.3.3

将负号移到分数的前面。

$y' y^{\frac{3}{5}} = - \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$

解题步骤 5.5

将 $y' y^{\frac{3}{5}} = - \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$ 中的每一项除以 $y^{\frac{3}{5}}$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.1

将 $y' y^{\frac{3}{5}} = - \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$ 中的每一项都除以 $y^{\frac{3}{5}}$ 。

$\frac{y' y^{\frac{3}{5}}}{y^{\frac{3}{5}}} = \frac{- \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}}{y^{\frac{3}{5}}}$

解题步骤 5.5.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.2.1

约去公因数。

$\frac{y' y^{\frac{3}{5}}}{y^{\frac{3}{5}}} = \frac{- \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}}{y^{\frac{3}{5}}}$

解题步骤 5.5.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}}{y^{\frac{3}{5}}}$

解题步骤 5.5.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$y' = - \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}} \cdot \frac{1}{y^{\frac{3}{5}}}$

解题步骤 5.5.3.2

将 $\frac{1}{y^{\frac{3}{5}}}$ 乘以 $\frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$ 。

$y' = - \frac{15}{y^{\frac{3}{5}} (28 x^{\frac{1}{7}})}$

解题步骤 5.5.3.3

将 $28$ 移到 $y^{\frac{3}{5}}$ 的左侧。

$y' = - \frac{15}{28 y^{\frac{3}{5}} x^{\frac{1}{7}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{15}{28 y^{\frac{3}{5}} x^{\frac{1}{7}}}$

微积分学 示例

微积分学示例