微积分学示例

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \csc^{2} (\frac{1}{3} x)$

解题步骤 1

通过计算导数 $f' (x)$ 的不定积分, 可以求函数 $f (x)$ 。

$f (x) = \int f' (x) d x$

解题步骤 2

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (\frac{1}{3} x) d x$

解题步骤 3

使 $u = \frac{1}{3} x$ 。然后使 $d u = \frac{1}{3} d x$ ，以便 $3 d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = \frac{1}{3} x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $\frac{1}{3} x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x]$

解题步骤 3.1.2

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{3} x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot 1$

解题步骤 3.1.4

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3}$

解题步骤 3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) (1 \cdot 3) d u$

解题步骤 4.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) \cdot 3 d u$

解题步骤 4.3

将 $3$ 移到 $\csc^{2} (u)$ 的左侧。

$\frac{1}{3} \int 3 \csc^{2} (u) d u$

解题步骤 5

由于 $3$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} (3 \int \csc^{2} (u) d u)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{3}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

解题步骤 6.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

约去公因数。

$\frac{3}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

解题步骤 6.2.2

重写表达式。

$1 \int \csc^{2} (u) d u$

解题步骤 6.3

将 $\int \csc^{2} (u) d u$ 乘以 $1$ 。

$\int \csc^{2} (u) d u$

解题步骤 7

因为 $- \cot (u)$ 的导数为 $\csc^{2} (u)$ ，所以 $\csc^{2} (u)$ 的积分为 $- \cot (u)$ 。

$- \cot (u) + C$

解题步骤 8

使用 $\frac{1}{3} x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \cot (\frac{1}{3} x) + C$

解题步骤 9

函数 $f$ 由函数导数的积分导出。根据微积分基本定理，这是有效的。

$f (x) = - \cot (\frac{1}{3} x) + C$

微积分学 示例

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