微积分学示例

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 3 x$

解题步骤 1

通过计算导数 $f' (x)$ 的不定积分, 可以求函数 $f (x)$ 。

$f (x) = \int f' (x) d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{x^{3}}{3} d x + \int - x^{2} d x + \int - 3 x d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int x^{3} d x + \int - x^{2} d x + \int - 3 x d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - x^{2} d x + \int - 3 x d x$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int x^{2} d x + \int - 3 x d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 3 x d x$

解题步骤 7

由于 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 3 \int x d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

$\frac{x^{4}}{12} - \frac{x^{3}}{3} - 3 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{4}}{12} - \frac{x^{3}}{3} - 3 \frac{x^{2}}{2} + C$

解题步骤 9.2.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$\frac{x^{4}}{12} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{2} + C$

解题步骤 9.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{x^{4}}{12} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + C$

解题步骤 10

重新排序项。

$\frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + C$

解题步骤 11

函数 $f$ 由函数导数的积分导出。根据微积分基本定理，这是有效的。

$f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + C$

微积分学 示例

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