微积分学示例

$f'' (t) = \frac{3}{\sqrt{t}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f'' (t)$ 的不定积分, 可以求函数 $f' (t)$ 。

$f' (t) = \int f'' (t) d t$

解题步骤 2

由于 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

解题步骤 3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 \int \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

解题步骤 3.2

通过将 $t^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$3 \int {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

解题步骤 3.3

将 ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 \int t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

解题步骤 3.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$3 \int t^{\frac{- 1}{2}} d t$

解题步骤 3.3.3

将负号移到分数的前面。

$3 \int t^{- \frac{1}{2}} d t$

解题步骤 4

根据幂法则， $t^{- \frac{1}{2}}$ 对 $t$ 的积分是 $2 t^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 (2 t^{\frac{1}{2}} + C)$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

将 $3 (2 t^{\frac{1}{2}} + C)$ 重写为 $3 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}} + C$ 。

$3 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 5.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 t^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 6

函数 $f'$ 由函数导数的积分导出。根据微积分基本定理，这是有效的。

$f' (t) = 6 t^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 7

通过计算导数 $f' (t)$ 的不定积分, 可以求函数 $f (t)$ 。

$f (t) = \int f' (t) d t$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 6 t^{\frac{1}{2}} d t + \int C d t$

解题步骤 9

由于 $6$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$6 \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int C d t$

解题步骤 10

根据幂法则， $t^{\frac{1}{2}}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ 。

$6 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \int C d t$

解题步骤 11

应用常数不变法则。

$6 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + C t + C$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $t^{\frac{3}{2}}$ 。

$6 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + C t + C$

解题步骤 12.2

化简。

$4 t^{\frac{3}{2}} + C t + C$

解题步骤 13

函数 $f$ 由函数导数的积分导出。根据微积分基本定理，这是有效的。

$f (t) = 4 t^{\frac{3}{2}} + C t + C$

微积分学 示例

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