微积分学示例

$\frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$

解题步骤 1

将 $\frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

从 $x^{5} - x^{3} + 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 4.1.1

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x \cdot x^{4} - x^{3} + 2 x}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.1.2

从 $- x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + 2 x}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.1.3

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot 2}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.1.4

从 $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot 2}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.1.5

从 $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 2)}{x^{4}} d x$

解题步骤 4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 2)}{x \cdot x^{3}} d x$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 2)}{x \cdot x^{3}} d x$

解题步骤 4.2.3

重写表达式。

$\int \frac{x^{4} - x^{2} + 2}{x^{3}} d x$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (x^{4} - x^{2} + 2) {(x^{3})}^{- 1} d x$

解题步骤 5.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (x^{4} - x^{2} + 2) x^{3 \cdot - 1} d x$

解题步骤 5.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (x^{4} - x^{2} + 2) x^{- 3} d x$

解题步骤 6

展开 $(x^{4} - x^{2} + 2) x^{- 3}$ 。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\int (x^{4} - x^{2}) x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\int x^{4} x^{- 3} - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

解题步骤 6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{4 - 3} - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

解题步骤 6.4

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\int x^{1} - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

解题步骤 6.5

化简。

$\int x - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

解题步骤 6.6

提取负因数。

$\int x - (x^{2} x^{- 3}) + 2 x^{- 3} d x$

解题步骤 6.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x - x^{2 - 3} + 2 x^{- 3} d x$

解题步骤 6.8

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\int x - x^{- 1} + 2 x^{- 3} d x$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x d x + \int - x^{- 1} d x + \int 2 x^{- 3} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - x^{- 1} d x + \int 2 x^{- 3} d x$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int x^{- 1} d x + \int 2 x^{- 3} d x$

解题步骤 10

$x^{- 1}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + \int 2 x^{- 3} d x$

解题步骤 11

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 \int x^{- 3} d x$

解题步骤 12

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

化简。

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解题步骤 13.1.1

组合 $x^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

解题步骤 13.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

解题步骤 13.2

化简。

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

解题步骤 13.3

化简。

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解题步骤 13.3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - 2 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 13.3.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{- 2}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 13.3.3

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.3.3.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 13.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 13.3.3.2.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2})} + C$

解题步骤 13.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 13.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{- 1}{x^{2}} + C$

解题步骤 13.3.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - \frac{1}{x^{2}} + C$

解题步骤 14

答案是函数 $f (x) = \frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - \frac{1}{x^{2}} + C$

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