微积分学示例

$- 2 x^{- 3} + 20 x^{- 5}$

解题步骤 1

将 $- 2 x^{- 3} + 20 x^{- 5}$ 书写为一个函数。

$f (x) = - 2 x^{- 3} + 20 x^{- 5}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int - 2 x^{- 3} + 20 x^{- 5} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - 2 x^{- 3} d x + \int 20 x^{- 5} d x$

解题步骤 5

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$- 2 \int x^{- 3} d x + \int 20 x^{- 5} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$- 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 20 x^{- 5} d x$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $x^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 20 x^{- 5} d x$

解题步骤 7.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$- 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 20 x^{- 5} d x$

解题步骤 8

由于 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $20$ 移到积分外。

$- 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 20 \int x^{- 5} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{- 5}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ 。

$- 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 20 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

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解题步骤 10.1.1

组合 $x^{- 4}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$- 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 20 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

解题步骤 10.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 4}$ 移动到分母。

$- 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 20 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

解题步骤 10.2

化简。

$- \frac{- 1}{x^{2}} + 20 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{1}{x^{2}} + 20 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

解题步骤 10.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{1}{x^{2}} + 20 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

解题步骤 10.3.3

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x^{2}} + 20 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

解题步骤 10.3.4

将 $- 1$ 乘以 $20$ 。

$\frac{1}{x^{2}} - 20 \frac{1}{4 x^{4}} + C$

解题步骤 10.3.5

组合 $- 20$ 和 $\frac{1}{4 x^{4}}$ 。

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{- 20}{4 x^{4}} + C$

解题步骤 10.3.6

约去 $- 20$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.6.1

从 $- 20$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{4 \cdot - 5}{4 x^{4}} + C$

解题步骤 10.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 10.3.6.2.1

从 $4 x^{4}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{4 \cdot - 5}{4 (x^{4})} + C$

解题步骤 10.3.6.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{4 \cdot - 5}{4 x^{4}} + C$

解题步骤 10.3.6.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{4}} + C$

解题步骤 10.3.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{5}{x^{4}} + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = - 2 x^{- 3} + 20 x^{- 5}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{x^{2}} - \frac{5}{x^{4}} + C$

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