微积分学示例

$\frac{1}{x^{2} + 4}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{x^{2} + 4}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 4}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

将 $x^{2}$ 和 $4$ 重新排序。

$\int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

解题步骤 4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 5

$\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ 。

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\arctan (\frac{x}{2})$ 。

$\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C$

解题步骤 6.2

将 $\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C$ 重写为 $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$ 。

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

解题步骤 7

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 4}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

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