微积分学示例

$R' (x) = 4 x {(x^{2} + 27000)}^{- \frac{2}{3}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $R' (x)$ 的不定积分, 可以求函数 $R (x)$ 。

$R (x) = \int R' (x) d x$

解题步骤 2

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int x {(x^{2} + 27000)}^{- \frac{2}{3}} d x$

解题步骤 3

使 $u = x^{2} + 27000$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = x^{2} + 27000$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $x^{2} + 27000$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 27000]$

解题步骤 3.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 27000$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27000]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27000]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [27000]$

解题步骤 3.1.4

因为 $27000$ 对于 $x$ 是常数，所以 $27000$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 3.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$4 \int u^{- \frac{2}{3}} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $u^{- \frac{2}{3}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$4 \int \frac{u^{- \frac{2}{3}}}{2} d u$

解题步骤 4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $u^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$4 \int \frac{1}{2 u^{\frac{2}{3}}} d u$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u)$

解题步骤 6

化简表达式。

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解题步骤 6.1

化简。

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解题步骤 6.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

解题步骤 6.1.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

解题步骤 6.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

解题步骤 6.1.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

解题步骤 6.1.2.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

解题步骤 6.1.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

解题步骤 6.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 6.2.1

通过将 $u^{\frac{2}{3}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$2 \int {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

解题步骤 6.2.2

将 ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \int u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

解题步骤 6.2.2.2

乘以 $\frac{2}{3} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 6.2.2.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $- 1$ 。

$2 \int u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

解题步骤 6.2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \int u^{\frac{- 2}{3}} d u$

解题步骤 6.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$2 \int u^{- \frac{2}{3}} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{- \frac{2}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $3 u^{\frac{1}{3}}$ 。

$2 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $2 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$ 重写为 $2 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$ 。

$2 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$

解题步骤 8.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 u^{\frac{1}{3}} + C$

解题步骤 9

使用 $x^{2} + 27000$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 {(x^{2} + 27000)}^{\frac{1}{3}} + C$

解题步骤 10

函数 $R$ 由函数导数的积分导出。根据微积分基本定理，这是有效的。

$R (x) = 6 {(x^{2} + 27000)}^{\frac{1}{3}} + C$

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