微积分学示例

$s' (t) = t {(t - 1)}^{2}$

解题步骤 1

通过计算导数 $s' (t)$ 的不定积分, 可以求函数 $s (t)$ 。

$s (t) = \int s' (t) d t$

解题步骤 2

使 $u = t - 1$ 。然后使 $d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = t - 1$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $t - 1$ 求导。

$\frac{d}{d t} [t - 1]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $t - 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 2.1.4

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int (u + 1) u^{2} d u$

解题步骤 3

展开 $(u + 1) u^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int u \cdot u^{2} + 1 u^{2} d u$

解题步骤 3.2

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int u^{1} u^{2} + 1 u^{2} d u$

解题步骤 3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{1 + 2} + 1 u^{2} d u$

解题步骤 3.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\int u^{3} + 1 u^{2} d u$

解题步骤 3.5

将 $u^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int u^{3} + u^{2} d u$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int u^{3} d u + \int u^{2} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int u^{2} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

解题步骤 7

化简。

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{1}{3} u^{3} + C$

解题步骤 8

使用 $t - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{4} {(t - 1)}^{4} + \frac{1}{3} {(t - 1)}^{3} + C$

解题步骤 9

函数 $s$ 由函数导数的积分导出。根据微积分基本定理，这是有效的。

$s (t) = \frac{1}{4} \cdot {(t - 1)}^{4} + \frac{1}{3} \cdot {(t - 1)}^{3} + C$

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