微积分学示例

$f'' (x) = 4 x + \sin (x)$

解题步骤 1

通过计算导数 $f'' (x)$ 的不定积分, 可以求函数 $f' (x)$ 。

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 4 x d x + \int \sin (x) d x$

解题步骤 3

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int x d x + \int \sin (x) d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \sin (x) d x$

解题步骤 5

$\sin (x)$ 对 $x$ 的积分为 $- \cos (x)$ 。

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \cos (x) + C$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - \cos (x) + C$

解题步骤 6.2

化简。

$2 x^{2} - \cos (x) + C$

解题步骤 7

函数 $f'$ 由函数导数的积分导出。根据微积分基本定理，这是有效的。

$f' (x) = 2 x^{2} - \cos (x) + C$

解题步骤 8

通过计算导数 $f' (x)$ 的不定积分, 可以求函数 $f (x)$ 。

$f (x) = \int f' (x) d x$

解题步骤 9

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 x^{2} d x + \int - \cos (x) d x + \int C d x$

解题步骤 10

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int x^{2} d x + \int - \cos (x) d x + \int C d x$

解题步骤 11

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - \cos (x) d x + \int C d x$

解题步骤 12

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int \cos (x) d x + \int C d x$

解题步骤 13

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (\sin (x) + C) + \int C d x$

解题步骤 14

应用常数不变法则。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (\sin (x) + C) + C x + C$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (\sin (x) + C) + C x + C$

解题步骤 15.2

化简。

$\frac{2 x^{3}}{3} - \sin (x) + C x + C$

解题步骤 15.3

重新排序项。

$\frac{2}{3} x^{3} - \sin (x) + C x + C$

解题步骤 16

函数 $f$ 由函数导数的积分导出。根据微积分基本定理，这是有效的。

$f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - \sin (x) + C x + C$

微积分学 示例

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