微积分学示例

$x^{6} - \frac{1}{x^{6}}$

解题步骤 1

将 $x^{6} - \frac{1}{x^{6}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{6} - \frac{1}{x^{6}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x^{6} - \frac{1}{x^{6}} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{6} d x + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{6}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{7} x^{7}$ 。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{7} x^{7} + C - \int \frac{1}{x^{6}} d x$

解题步骤 7

应用指数的基本规则。

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解题步骤 7.1

通过将 $x^{6}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{7} x^{7} + C - \int {(x^{6})}^{- 1} d x$

解题步骤 7.2

将 ${(x^{6})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{7} x^{7} + C - \int x^{6 \cdot - 1} d x$

解题步骤 7.2.2

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{7} x^{7} + C - \int x^{- 6} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{- 6}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ 。

$\frac{1}{7} x^{7} + C - (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

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解题步骤 9.1.1

组合 $x^{- 5}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{1}{7} x^{7} + C - (- \frac{x^{- 5}}{5} + C)$

解题步骤 9.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 5}$ 移动到分母。

$\frac{1}{7} x^{7} + C - (- \frac{1}{5 x^{5}} + C)$

解题步骤 9.2

化简。

$\frac{1}{7} x^{7} - - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{7} x^{7} + 1 \frac{1}{5 x^{5}} + C$

解题步骤 9.3.2

将 $\frac{1}{5 x^{5}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = x^{6} - \frac{1}{x^{6}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$

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