微积分学示例

$\frac{4}{\sqrt[3]{x}} - 4 \sqrt[3]{x^{2}}$

解题步骤 1

将 $\frac{4}{\sqrt[3]{x}} - 4 \sqrt[3]{x^{2}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{4}{\sqrt[3]{x}} - 4 \sqrt[3]{x^{2}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{4}{\sqrt[3]{x}} - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{4}{\sqrt[3]{x}} d x + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

解题步骤 5

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

解题步骤 6

应用指数的基本规则。

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解题步骤 6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

解题步骤 6.2

通过将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$4 \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

解题步骤 6.3

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

解题步骤 6.3.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$4 \int x^{\frac{- 1}{3}} d x + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

解题步骤 6.3.3

将负号移到分数的前面。

$4 \int x^{- \frac{1}{3}} d x + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ 。

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

解题步骤 8

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - 4 \int \sqrt[3]{x^{2}} d x$

解题步骤 9

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 重写成 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - 4 \int x^{\frac{2}{3}} d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ 。

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - 4 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简。

$4 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

解题步骤 11.2

化简。

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解题步骤 11.2.1

组合 $4$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

解题步骤 11.2.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{12}{2} x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

解题步骤 11.2.3

约去 $12$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.3.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 6}{2} x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

解题步骤 11.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

解题步骤 11.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

解题步骤 11.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{6}{1} x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

解题步骤 11.2.3.2.4

用 $6$ 除以 $1$ 。

$6 x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

解题步骤 11.2.4

组合 $- 4$ 和 $\frac{3}{5}$ 。

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 4 \cdot 3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$

解题步骤 11.2.5

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 12}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$

解题步骤 11.2.6

将负号移到分数的前面。

$6 x^{\frac{2}{3}} - \frac{12}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = \frac{4}{\sqrt[3]{x}} - 4 \sqrt[3]{x^{2}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $6 x^{\frac{2}{3}} - \frac{12}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$

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