微积分学示例

$\arcsin (x)$

解题步骤 1

将 $\arcsin (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = \arcsin (x)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \arcsin (x) d x$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \arcsin (x)$ ， $d v = 1$ 。

$\arcsin (x) x - \int x \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

解题步骤 5

组合 $x$ 和 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 。

$\arcsin (x) x - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

解题步骤 6

使 $u = 1 - x^{2}$ 。然后使 $d u = - 2 x d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = 1 - x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $1 - x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 6.1.2

求微分。

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解题步骤 6.1.2.1

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 6.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 6.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 6.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 6.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - (2 x)$

解题步骤 6.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 2 x$

解题步骤 6.1.4

从 $0$ 中减去 $2 x$ 。

$- 2 x$

解题步骤 6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\arcsin (x) x - \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$\arcsin (x) x - \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

解题步骤 7.2

将 $\frac{1}{\sqrt{u}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\arcsin (x) x - \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

解题步骤 7.3

将 $2$ 移到 $\sqrt{u}$ 的左侧。

$\arcsin (x) x - \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\arcsin (x) x - - \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\arcsin (x) x + 1 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

解题步骤 9.2

将 $\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$ 乘以 $1$ 。

$\arcsin (x) x + \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

解题步骤 11

应用指数的基本规则。

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解题步骤 11.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

解题步骤 11.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

解题步骤 11.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 11.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

解题步骤 11.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

解题步骤 11.3.3

将负号移到分数的前面。

$\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

解题步骤 12

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\arcsin (x) x + \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

解题步骤 13

将 $\arcsin (x) x + \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ 重写为 $\arcsin (x) x + u^{\frac{1}{2}} + C$ 。

$\arcsin (x) x + u^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 14

使用 $1 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\arcsin (x) x + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 15

答案是函数 $f (x) = \arcsin (x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\arcsin (x) x + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

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