微积分学示例

$\sin^{5} (x)$

解题步骤 1

将 $\sin^{5} (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = \sin^{5} (x)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \sin^{5} (x) d x$

解题步骤 4

因式分解出 $\sin^{4} (x)$ 。

$\int \sin^{4} (x) \sin (x) d x$

解题步骤 5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 5.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) d x$

解题步骤 5.2

将 ${\sin (x)}^{2 (2)}$ 重写为乘方形式。

$\int {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

解题步骤 6

使用勾股定理，将 $\sin^{2} (x)$ 重写成 $1 - \cos^{2} (x)$ 的形式。

$\int {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

解题步骤 7

使 $u = \cos (x)$ 。然后使 $d u = - \sin (x) d x$ ，以便 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u = \cos (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $\cos (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 7.1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x)$

解题步骤 7.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int - {(1 - u^{2})}^{2} d u$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int {(1 - u^{2})}^{2} d u$

解题步骤 9

展开 ${(1 - u^{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 9.1

将 ${(1 - u^{2})}^{2}$ 重写为 $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ 。

$- \int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

解题步骤 9.2

运用分配律。

$- \int 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

解题步骤 9.3

运用分配律。

$- \int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

解题步骤 9.4

运用分配律。

$- \int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

解题步骤 9.5

移动 $u^{2}$ 。

$- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

解题步骤 9.6

移动 $u^{2}$ 。

$- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 9.7

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$- \int 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 9.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \int 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 9.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 9.10

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 9.11

将 $u^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 9.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

解题步骤 9.13

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

解题步骤 9.14

从 $- u^{2}$ 中减去 $u^{2}$ 。

$- \int 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

解题步骤 9.15

将 $- 2 u^{2}$ 和 $u^{4}$ 重新排序。

$- \int 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

解题步骤 9.16

移动 $1$ 。

$- \int u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

解题步骤 10

将单个积分拆分为多个积分。

$- (\int u^{4} d u + \int - 2 u^{2} d u + \int d u)$

解题步骤 11

根据幂法则， $u^{4}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{5} u^{5}$ 。

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - 2 u^{2} d u + \int d u)$

解题步骤 12

由于 $- 2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 \int u^{2} d u + \int d u)$

解题步骤 13

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u)$

解题步骤 14

应用常数不变法则。

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C)$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

化简。

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解题步骤 15.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

解题步骤 15.1.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $u^{5}$ 。

$- (\frac{u^{5}}{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

解题步骤 15.2

化简。

$- (\frac{u^{5}}{5} - \frac{2 u^{3}}{3} + u) + C$

解题步骤 16

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- (\frac{\cos^{5} (x)}{5} - \frac{2 \cos^{3} (x)}{3} + \cos (x)) + C$

解题步骤 17

重新排序项。

$- (\frac{1}{5} \cos^{5} (x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$

解题步骤 18

答案是函数 $f (x) = \sin^{5} (x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- (\frac{1}{5} \cos^{5} (x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$

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