微积分学示例

$8 x^{9} - 2 x^{6} + 13 x^{3}$

解题步骤 1

将 $8 x^{9} - 2 x^{6} + 13 x^{3}$ 书写为一个函数。

$f (x) = 8 x^{9} - 2 x^{6} + 13 x^{3}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 8 x^{9} - 2 x^{6} + 13 x^{3} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 8 x^{9} d x + \int - 2 x^{6} d x + \int 13 x^{3} d x$

解题步骤 5

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$8 \int x^{9} d x + \int - 2 x^{6} d x + \int 13 x^{3} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{9}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{10} x^{10}$ 。

$8 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + \int - 2 x^{6} d x + \int 13 x^{3} d x$

解题步骤 7

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$8 (\frac{1}{10} x^{10} + C) - 2 \int x^{6} d x + \int 13 x^{3} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{6}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{7} x^{7}$ 。

$8 (\frac{1}{10} x^{10} + C) - 2 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + \int 13 x^{3} d x$

解题步骤 9

由于 $13$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $13$ 移到积分外。

$8 (\frac{1}{10} x^{10} + C) - 2 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 13 \int x^{3} d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$8 (\frac{1}{10} x^{10} + C) - 2 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 13 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简。

$\frac{4 x^{10}}{5} - \frac{2 x^{7}}{7} + 13 (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

解题步骤 11.2

化简。

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解题步骤 11.2.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{4 x^{10}}{5} - \frac{2 x^{7}}{7} + 13 \frac{x^{4}}{4} + C$

解题步骤 11.2.2

组合 $13$ 和 $\frac{x^{4}}{4}$ 。

$\frac{4 x^{10}}{5} - \frac{2 x^{7}}{7} + \frac{13 x^{4}}{4} + C$

解题步骤 12

重新排序项。

$\frac{4}{5} x^{10} - \frac{2}{7} x^{7} + \frac{13}{4} x^{4} + C$

解题步骤 13

答案是函数 $f (x) = 8 x^{9} - 2 x^{6} + 13 x^{3}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{4}{5} x^{10} - \frac{2}{7} x^{7} + \frac{13}{4} x^{4} + C$

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