微积分学示例

$f (x) = 6 x^{2} - 7 \sec^{2} (x)$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 6 x^{2} - 7 \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 6 x^{2} d x + \int - 7 \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 4

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$6 \int x^{2} d x + \int - 7 \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 7 \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 6

由于 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 7$ 移到积分外。

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 7 \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 7

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 7 (\tan (x) + C)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

$6 (\frac{1}{3}) x^{3} - 7 \tan (x) + C$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

组合 $6$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{6}{3} x^{3} - 7 \tan (x) + C$

解题步骤 8.2.2

约去 $6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} - 7 \tan (x) + C$

解题步骤 8.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} - 7 \tan (x) + C$

解题步骤 8.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} - 7 \tan (x) + C$

解题步骤 8.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{1} x^{3} - 7 \tan (x) + C$

解题步骤 8.2.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 x^{3} - 7 \tan (x) + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = 6 x^{2} - 7 \sec^{2} (x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $2 x^{3} - 7 \tan (x) + C$

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