微积分学示例

$\arctan (\frac{x}{2})$

解题步骤 1

将 $\arctan (\frac{x}{2})$ 书写为一个函数。

$f (x) = \arctan (\frac{x}{2})$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \arctan (\frac{x}{2}) d x$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \arctan (\frac{x}{2})$ ， $d v = 1$ 。

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int x \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $x$ 和 $\frac{2}{x^{2} + 4}$ 。

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int \frac{x \cdot 2}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 5.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 6

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\arctan (\frac{x}{2}) x - (2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x)$

解题步骤 7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 8

使 $u = x^{2} + 4$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u = x^{2} + 4$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $x^{2} + 4$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

解题步骤 8.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 8.1.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 8.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 8.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 9.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 2$ 。

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 11.2

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 11.2.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 11.2.2.2

约去公因数。

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 11.2.2.3

重写表达式。

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 11.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 12

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\arctan (\frac{x}{2}) x - (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 13

将 $\arctan (\frac{x}{2}) x - (\ln (| u |) + C)$ 重写为 $\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| u |) + C$ 。

$\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| u |) + C$

解题步骤 14

使用 $x^{2} + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

解题步骤 15

答案是函数 $f (x) = \arctan (\frac{x}{2})$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

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