微积分学示例

$5 {(4 x - 3)}^{4} (4)$

解题步骤 1

将 $5 {(4 x - 3)}^{4} (4)$ 书写为一个函数。

$f (x) = 5 {(4 x - 3)}^{4} (4)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 5 {(4 x - 3)}^{4} (4) d x$

解题步骤 4

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\int 20 {(4 x - 3)}^{4} d x$

解题步骤 5

由于 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $20$ 移到积分外。

$20 \int {(4 x - 3)}^{4} d x$

解题步骤 6

使 $u = 4 x - 3$ 。然后使 $d u = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = 4 x - 3$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $4 x - 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x - 3]$

解题步骤 6.1.2

根据加法法则， $4 x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 6.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 6.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 6.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 6.1.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 6.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 6.1.4.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 + 0$

解题步骤 6.1.4.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$4$

解题步骤 6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$20 \int u^{4} \frac{1}{4} d u$

解题步骤 7

组合 $u^{4}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$20 \int \frac{u^{4}}{4} d u$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$20 (\frac{1}{4} \int u^{4} d u)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $20$ 。

$\frac{20}{4} \int u^{4} d u$

解题步骤 9.2

约去 $20$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 5}{4} \int u^{4} d u$

解题步骤 9.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 5}{4 (1)} \int u^{4} d u$

解题步骤 9.2.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 1} \int u^{4} d u$

解题步骤 9.2.2.3

重写表达式。

$\frac{5}{1} \int u^{4} d u$

解题步骤 9.2.2.4

用 $5$ 除以 $1$ 。

$5 \int u^{4} d u$

解题步骤 10

根据幂法则， $u^{4}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{5} u^{5}$ 。

$5 (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

将 $5 (\frac{1}{5} u^{5} + C)$ 重写为 $5 (\frac{1}{5}) u^{5} + C$ 。

$5 (\frac{1}{5}) u^{5} + C$

解题步骤 11.2

化简。

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解题步骤 11.2.1

组合 $5$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{5}{5} u^{5} + C$

解题步骤 11.2.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.2.1

约去公因数。

$\frac{5}{5} u^{5} + C$

解题步骤 11.2.2.2

重写表达式。

$1 u^{5} + C$

解题步骤 11.2.3

将 $u^{5}$ 乘以 $1$ 。

$u^{5} + C$

解题步骤 12

使用 $4 x - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

${(4 x - 3)}^{5} + C$

解题步骤 13

答案是函数 $f (x) = 5 {(4 x - 3)}^{4} (4)$ 的不定积分。

$F (x) =$ ${(4 x - 3)}^{5} + C$

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