微积分学示例

$4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$

解题步骤 1

将 $4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$ 书写为一个函数。

$f (x) = 4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9} d x$

解题步骤 4

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9} d x$

解题步骤 5

使 $u = 3 x^{4} + 3$ 。然后使 $d u = 12 x^{3} d x$ ，以便 $\frac{1}{12} d u = x^{3} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = 3 x^{4} + 3$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $3 x^{4} + 3$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x^{4} + 3]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $3 x^{4} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 5.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 5.1.3.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 5.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 5.1.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 x^{3} + 0$

解题步骤 5.1.4.2

将 $12 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$12 x^{3}$

解题步骤 5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$4 \int u^{9} \frac{1}{12} d u$

解题步骤 6

组合 $u^{9}$ 和 $\frac{1}{12}$ 。

$4 \int \frac{u^{9}}{12} d u$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{12}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{12}$ 移到积分外。

$4 (\frac{1}{12} \int u^{9} d u)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{12}$ 和 $4$ 。

$\frac{4}{12} \int u^{9} d u$

解题步骤 8.2

约去 $4$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (1)}{12} \int u^{9} d u$

解题步骤 8.2.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int u^{9} d u$

解题步骤 8.2.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int u^{9} d u$

解题步骤 8.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{3} \int u^{9} d u$

解题步骤 9

根据幂法则， $u^{9}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{10} u^{10}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{10} u^{10} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{1}{3} (\frac{1}{10} u^{10} + C)$ 重写为 $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{10} u^{10} + C$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{10} u^{10} + C$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{10}$ 。

$\frac{1}{3 \cdot 10} u^{10} + C$

解题步骤 10.2.2

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$\frac{1}{30} u^{10} + C$

解题步骤 11

使用 $3 x^{4} + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{30} {(3 x^{4} + 3)}^{10} + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = 4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{30} {(3 x^{4} + 3)}^{10} + C$

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