微积分学示例

$f (x) = \frac{3}{x^{4} y}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{3}{x^{4} y} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{3}{y}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{3}{y}$ 移到积分外。

$\frac{3}{y} \int \frac{1}{x^{4}} d x$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

通过将 $x^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{3}{y} \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

解题步骤 4.2

将 ${(x^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3}{y} \int x^{4 \cdot - 1} d x$

解题步骤 4.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3}{y} \int x^{- 4} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{- 4}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ 。

$\frac{3}{y} (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简。

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解题步骤 6.1.1

组合 $x^{- 3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{3}{y} (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

解题步骤 6.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 3}$ 移动到分母。

$\frac{3}{y} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

解题步骤 6.2

化简。

$\frac{3}{y} (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{3}{y}$ 乘以 $\frac{1}{3 x^{3}}$ 。

$- \frac{3}{y (3 x^{3})} + C$

解题步骤 6.3.2

将 $3$ 移到 $y$ 的左侧。

$- \frac{3}{3 \cdot y x^{3}} + C$

解题步骤 6.3.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.1

约去公因数。

$- \frac{3}{3 y x^{3}} + C$

解题步骤 6.3.3.2

重写表达式。

$- \frac{1}{y x^{3}} + C$

解题步骤 7

答案是函数 $f (x) = \frac{3}{x^{4} y}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{1}{y x^{3}} + C$

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