微积分学示例

$f (x) = \frac{6 x^{5} - 17 x^{4} + 9 x^{3} + 10 x^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{6 x^{5} - 17 x^{4} + 9 x^{3} + 10 x^{2}}{x^{3}} d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

从 $6 x^{5} - 17 x^{4} + 9 x^{3} + 10 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $6 x^{5}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3}) - 17 x^{4} + 9 x^{3} + 10 x^{2}}{x^{3}} d x$

解题步骤 3.1.2

从 $- 17 x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3}) + x^{2} (- 17 x^{2}) + 9 x^{3} + 10 x^{2}}{x^{3}} d x$

解题步骤 3.1.3

从 $9 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3}) + x^{2} (- 17 x^{2}) + x^{2} (9 x) + 10 x^{2}}{x^{3}} d x$

解题步骤 3.1.4

从 $10 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3}) + x^{2} (- 17 x^{2}) + x^{2} (9 x) + x^{2} \cdot 10}{x^{3}} d x$

解题步骤 3.1.5

从 $x^{2} (6 x^{3}) + x^{2} (- 17 x^{2})$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2}) + x^{2} (9 x) + x^{2} \cdot 10}{x^{3}} d x$

解题步骤 3.1.6

从 $x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2}) + x^{2} (9 x)$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x) + x^{2} \cdot 10}{x^{3}} d x$

解题步骤 3.1.7

从 $x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x) + x^{2} \cdot 10$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x + 10)}{x^{3}} d x$

解题步骤 3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x + 10)}{x^{2} x} d x$

解题步骤 3.2.2

约去公因数。

$\int \frac{x^{2} (6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x + 10)}{x^{2} x} d x$

解题步骤 3.2.3

重写表达式。

$\int \frac{6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x + 10}{x} d x$

解题步骤 4

用 $6 x^{3} - 17 x^{2} + 9 x + 10$ 除以 $x$ 。

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解题步骤 4.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$0$

$6 x^{3}$

$17 x^{2}$

$9 x$

$10$

解题步骤 4.2

将被除数中的最高阶项 $6 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$6 x^{2}$
	$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$

解题步骤 4.3

将新的商式项乘以除数。

				$6 x^{2}$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			+	$6 x^{3}$	+	$0$

解题步骤 4.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $6 x^{3} + 0$ 中的所有符号

				$6 x^{2}$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$

解题步骤 4.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$6 x^{2}$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$

解题步骤 4.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$6 x^{2}$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$

解题步骤 4.7

将被除数中的最高阶项 $- 17 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$6 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$

解题步骤 4.8

将新的商式项乘以除数。

				$6 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$17 x^{2}$	+	$0$

解题步骤 4.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 17 x^{2} + 0$ 中的所有符号

				$6 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$

解题步骤 4.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$6 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$

解题步骤 4.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$6 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$10$

解题步骤 4.12

将被除数中的最高阶项 $9 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$6 x^{2}$	-	$17 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$10$

解题步骤 4.13

将新的商式项乘以除数。

				$6 x^{2}$	-	$17 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$10$
							+	$9 x$	+	$0$

解题步骤 4.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $9 x + 0$ 中的所有符号

				$6 x^{2}$	-	$17 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$10$
							-	$9 x$	-	$0$

解题步骤 4.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$6 x^{2}$	-	$17 x$	+	$9$
$x$	+	$0$		$6 x^{3}$	-	$17 x^{2}$	+	$9 x$	+	$10$
			-	$6 x^{3}$	-	$0$
					-	$17 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$17 x^{2}$	-	$0$
							+	$9 x$	+	$10$
							-	$9 x$	-	$0$
									+	$10$

解题步骤 4.16

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int 6 x^{2} - 17 x + 9 + \frac{10}{x} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 6 x^{2} d x + \int - 17 x d x + \int 9 d x + \int \frac{10}{x} d x$

解题步骤 6

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$6 \int x^{2} d x + \int - 17 x d x + \int 9 d x + \int \frac{10}{x} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 17 x d x + \int 9 d x + \int \frac{10}{x} d x$

解题步骤 8

由于 $- 17$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 17$ 移到积分外。

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 17 \int x d x + \int 9 d x + \int \frac{10}{x} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 17 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 9 d x + \int \frac{10}{x} d x$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 17 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 9 x + C + \int \frac{10}{x} d x$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 17 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 9 x + C + \int \frac{10}{x} d x$

解题步骤 11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 17 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 9 x + C + \int \frac{10}{x} d x$

解题步骤 12

由于 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $10$ 移到积分外。

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 17 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 9 x + C + 10 \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 13

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 17 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 9 x + C + 10 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 14

化简。

$2 x^{3} - \frac{17 x^{2}}{2} + 9 x + 10 \ln (| x |) + C$

解题步骤 15

重新排序项。

$2 x^{3} - \frac{17}{2} x^{2} + 9 x + 10 \ln (| x |) + C$

解题步骤 16

答案是函数 $f (x) = \frac{6 x^{5} - 17 x^{4} + 9 x^{3} + 10 x^{2}}{x^{3}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $2 x^{3} - \frac{17}{2} x^{2} + 9 x + 10 \ln (| x |) + C$

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