微积分学示例

$f (x) = \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{5}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{5}{2}$ 移到积分外。

$\frac{5}{2} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{5}{2} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{5}{2} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ 重写为 $\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ 。

$\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $\frac{5}{2}$ 乘以 $\frac{2}{5}$ 。

$\frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 5} x^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 5.2.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{10}{2 \cdot 5} x^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 5.2.3

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{10}{10} x^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 5.2.4

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

约去公因数。

$\frac{10}{10} x^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 5.2.4.2

重写表达式。

$1 x^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 5.2.5

将 $x^{\frac{5}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$x^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 6

答案是函数 $f (x) = \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $x^{\frac{5}{2}} + C$

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