微积分学示例

$f (x) = \frac{2 + x^{2}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{2 + x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 3

将 $2$ 和 $x^{2}$ 重新排序。

$\int \frac{x^{2} + 2}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 4

将 $1$ 和 $x^{2}$ 重新排序。

$\int \frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 5

用 $x^{2} + 2$ 除以 $x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

解题步骤 5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$

解题步骤 5.3

将新的商式项乘以除数。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

解题步骤 5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + 0 + 1$ 中的所有符号

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

解题步骤 5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									+	$1$

解题步骤 5.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int 1 + \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d x + \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$x + C + \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 8

化简表达式。

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解题步骤 8.1

将 $x^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$x + C + \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 8.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x + C + \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 9

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arctan (x) + C$ 。

$x + C + \arctan (x) + C$

解题步骤 10

化简。

$x + \arctan (x) + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = \frac{2 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $x + \arctan (x) + C$

微积分学 示例

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