微积分学示例

$f (x) = \frac{2}{3 x^{2}} + \frac{5}{4 x^{3}} + \sqrt{x}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{2}{3 x^{2}} + \frac{5}{4 x^{3}} + \sqrt{x} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{2}{3 x^{2}} d x + \int \frac{5}{4 x^{3}} d x + \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 4

由于 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{2}{3}$ 移到积分外。

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{5}{4 x^{3}} d x + \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{2}{3} \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{5}{4 x^{3}} d x + \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 5.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2}{3} \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{5}{4 x^{3}} d x + \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 5.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2}{3} \int x^{- 2} d x + \int \frac{5}{4 x^{3}} d x + \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \int \frac{5}{4 x^{3}} d x + \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 7

由于 $\frac{5}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{5}{4}$ 移到积分外。

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{4} \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 8

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{4} \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 8.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{4} \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 8.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{4} \int x^{- 3} d x + \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{4} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 10

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{4} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 11

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{4} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 12

化简。

$- \frac{2}{3 x} - \frac{5}{8 x^{2}} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 13

答案是函数 $f (x) = \frac{2}{3 x^{2}} + \frac{5}{4 x^{3}} + \sqrt{x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{2}{3 x} - \frac{5}{8 x^{2}} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

微积分学 示例

微积分学示例