微积分学示例

$f (x) = x^{2} + 2 x$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x^{2} + 2 x d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{2} d x + \int 2 x d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int 2 x d x$

解题步骤 5

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 \int x d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简。

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

解题步骤 7.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

解题步骤 7.2.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{3} x^{3} + 1 x^{2} + C$

$\frac{1}{3} x^{3} + 1 x^{2} + C$

解题步骤 7.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + C$

$\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + C$

$\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + C$

解题步骤 8

答案是函数 $f (x) = x^{2} + 2 x$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$