微积分学示例

$f (x) = \sqrt[3]{x^{2}} + x \sqrt{x}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \sqrt[3]{x^{2}} + x \sqrt{x} d x$

解题步骤 3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 3.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 3.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{1 + \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 3.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 3.2.3

在公分母上合并分子。

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{2 + 1}{2}} d x$

解题步骤 3.2.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \sqrt[3]{x^{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 5

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 重写成 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\int x^{\frac{2}{3}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ 。

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 8

化简。

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}} + x \sqrt{x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

微积分学 示例

微积分学示例