微积分学示例

$f (x) = \sqrt{3 x}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \sqrt{3 x} d x$

解题步骤 3

使 $u = 3 x$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = 3 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 3.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

解题步骤 4

组合 $\sqrt{u}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u$

解题步骤 6

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ 重写为 $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 8.2.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 9

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2}{9} {(3 x)}^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = \sqrt{3 x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{2}{9} {(3 x)}^{\frac{3}{2}} + C$

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