微积分学示例

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \sqrt{x} d x + \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 6

应用指数的基本规则。

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解题步骤 6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 6.2

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 6.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 6.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 6.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 8

化简。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

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