微积分学示例

$f (x) = (3 x - 5) (2 x + 4)$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int (3 x - 5) (2 x + 4) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int 3 x (2 x + 4) - 5 (2 x + 4) d x$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\int 3 x (2 x) + 3 x \cdot 4 - 5 (2 x + 4) d x$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\int 3 x (2 x) + 3 x \cdot 4 - 5 (2 x) - 5 \cdot 4 d x$

解题步骤 3.4

移动 $x$ 。

$\int 3 \cdot 2 x \cdot x + 3 x \cdot 4 - 5 (2 x) - 5 \cdot 4 d x$

解题步骤 3.5

移动 $x$ 。

$\int 3 \cdot 2 x \cdot x + 3 \cdot 4 x - 5 (2 x) - 5 \cdot 4 d x$

解题步骤 3.6

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\int 6 x \cdot x + 3 \cdot 4 x - 5 \cdot 2 x - 5 \cdot 4 d x$

解题步骤 3.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 6 (x^{1} x) + 3 \cdot 4 x - 5 \cdot 2 x - 5 \cdot 4 d x$

解题步骤 3.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 6 (x^{1} x^{1}) + 3 \cdot 4 x - 5 \cdot 2 x - 5 \cdot 4 d x$

解题步骤 3.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 6 x^{1 + 1} + 3 \cdot 4 x - 5 \cdot 2 x - 5 \cdot 4 d x$

解题步骤 3.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int 6 x^{2} + 3 \cdot 4 x - 5 \cdot 2 x - 5 \cdot 4 d x$

解题步骤 3.11

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\int 6 x^{2} + 12 x - 5 \cdot 2 x - 5 \cdot 4 d x$

解题步骤 3.12

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$\int 6 x^{2} + 12 x - 10 x - 5 \cdot 4 d x$

解题步骤 3.13

将 $- 5$ 乘以 $4$ 。

$\int 6 x^{2} + 12 x - 10 x - 20 d x$

解题步骤 3.14

从 $12 x$ 中减去 $10 x$ 。

$\int 6 x^{2} + 2 x - 20 d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 6 x^{2} d x + \int 2 x d x + \int - 20 d x$

解题步骤 5

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$6 \int x^{2} d x + \int 2 x d x + \int - 20 d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 x d x + \int - 20 d x$

解题步骤 7

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int x d x + \int - 20 d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 20 d x$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 20 x + C$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

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解题步骤 10.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 20 x + C$

解题步骤 10.1.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 20 x + C$

解题步骤 10.2

化简。

$2 x^{3} + x^{2} - 20 x + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = (3 x - 5) (2 x + 4)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $2 x^{3} + x^{2} - 20 x + C$

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