微积分学示例

$f (t) = 6 t^{3} + 12$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (t)$ 的不定积分求函数 $F (t)$ 。

$F (t) = \int f (t) d t$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (t) = \int 6 t^{3} + 12 d t$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 6 t^{3} d t + \int 12 d t$

解题步骤 4

由于 $6$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$6 \int t^{3} d t + \int 12 d t$

解题步骤 5

根据幂法则， $t^{3}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{4} t^{4}$ 。

$6 (\frac{1}{4} t^{4} + C) + \int 12 d t$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$6 (\frac{1}{4} t^{4} + C) + 12 t + C$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $t^{4}$ 。

$6 (\frac{t^{4}}{4} + C) + 12 t + C$

解题步骤 7.2

化简。

$\frac{3 t^{4}}{2} + 12 t + C$

解题步骤 7.3

重新排序项。

$\frac{3}{2} t^{4} + 12 t + C$

$\frac{3}{2} t^{4} + 12 t + C$

解题步骤 8

答案是函数 $f (t) = 6 t^{3} + 12$ 的不定积分。

$F (t) =$ $\frac{3}{2} t^{4} + 12 t + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$