微积分学示例

$f (x) = \frac{7 - 4 x^{3} + 6 x^{6}}{x^{6}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{7 - 4 x^{3} + 6 x^{6}}{x^{6}} d x$

解题步骤 3

通过将 $x^{6}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (7 - 4 x^{3} + 6 x^{6}) {(x^{6})}^{- 1} d x$

解题步骤 4

将 ${(x^{6})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (7 - 4 x^{3} + 6 x^{6}) x^{6 \cdot - 1} d x$

解题步骤 4.2

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (7 - 4 x^{3} + 6 x^{6}) x^{- 6} d x$

解题步骤 5

展开 $(7 - 4 x^{3} + 6 x^{6}) x^{- 6}$ 。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\int (7 - 4 x^{3}) x^{- 6} + 6 x^{6} x^{- 6} d x$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\int 7 x^{- 6} - 4 x^{3} x^{- 6} + 6 x^{6} x^{- 6} d x$

解题步骤 5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 7 x^{- 6} - 4 x^{3 - 6} + 6 x^{6} x^{- 6} d x$

解题步骤 5.4

从 $3$ 中减去 $6$ 。

$\int 7 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 6 x^{6} x^{- 6} d x$

解题步骤 5.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 7 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 6 x^{6 - 6} d x$

解题步骤 5.6

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$\int 7 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 6 x^{0} d x$

解题步骤 5.7

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\int 7 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 6 \cdot 1 d x$

解题步骤 5.8

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\int 7 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 6 d x$

解题步骤 5.9

将 $7 x^{- 6}$ 和 $- 4 x^{- 3}$ 重新排序。

$\int - 4 x^{- 3} + 7 x^{- 6} + 6 d x$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - 4 x^{- 3} d x + \int 7 x^{- 6} d x + \int 6 d x$

解题步骤 7

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$- 4 \int x^{- 3} d x + \int 7 x^{- 6} d x + \int 6 d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$- 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 7 x^{- 6} d x + \int 6 d x$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

组合 $x^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 7 x^{- 6} d x + \int 6 d x$

解题步骤 9.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 7 x^{- 6} d x + \int 6 d x$

解题步骤 10

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 7 \int x^{- 6} d x + \int 6 d x$

解题步骤 11

根据幂法则， $x^{- 6}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ 。

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 7 (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C) + \int 6 d x$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

组合 $x^{- 5}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 7 (- \frac{x^{- 5}}{5} + C) + \int 6 d x$

解题步骤 12.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 5}$ 移动到分母。

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 7 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) + \int 6 d x$

解题步骤 13

应用常数不变法则。

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 7 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) + 6 x + C$

解题步骤 14

化简。

$\frac{2}{x^{2}} - \frac{7}{5 x^{5}} + 6 x + C$

解题步骤 15

答案是函数 $f (x) = \frac{7 - 4 x^{3} + 6 x^{6}}{x^{6}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{2}{x^{2}} - \frac{7}{5 x^{5}} + 6 x + C$

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