微积分学示例

$f (x) = (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x)$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x) d x$

解题步骤 3

使 $u_{2} = \cot (π x)$ 。然后使 $d u_{2} = - π \csc^{2} (π x) d x$ ，以便 $- \frac{1}{π} d u_{2} = \csc^{2} (π x) d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u_{2} = \cot (π x)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $\cot (π x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cot (π x)]$

解题步骤 3.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cot (x)$ 且 $g (x) = π x$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $π x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]$

解题步骤 3.1.2.2

$\cot (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \csc^{2} (u_{1})$ 。

$- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]$

解题步骤 3.1.2.3

使用 $π x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \csc^{2} (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

解题步骤 3.1.3

求微分。

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解题步骤 3.1.3.1

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π x$ 对 $x$ 的导数是 $π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \csc^{2} (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \csc^{2} (π x) (π \cdot 1)$

解题步骤 3.1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 3.1.3.3.1

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$- \csc^{2} (π x) π$

解题步骤 3.1.3.3.2

重新排序 $- \csc^{2} (π x) π$ 的因式。

$- π \csc^{2} (π x)$

解题步骤 3.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int (- π - e^{u_{2}}) \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

解题步骤 4

将两个负数相除得到一个正数。

$\int (- π - e^{u_{2}}) \frac{1}{π} d u_{2}$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{π}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{π}$ 移到积分外。

$\frac{1}{π} \int - π - e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{π} (\int - π d u_{2} + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C - \int e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 9

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C - (e^{u_{2}} + C))$

解题步骤 10

化简。

$\frac{1}{π} (- π u_{2} - e^{u_{2}}) + C$

解题步骤 11

使用 $\cot (π x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{π} (- π \cot (π x) - e^{\cot (π x)}) + C$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

运用分配律。

$\frac{1}{π} (- π \cot (π x)) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

解题步骤 12.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.1

从 $- π \cot (π x)$ 中分解出因数 $π$ 。

$\frac{1}{π} (π (- \cot (π x))) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

解题步骤 12.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{π} (π (- \cot (π x))) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

解题步骤 12.2.3

重写表达式。

$- \cot (π x) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

解题步骤 12.3

组合 $\frac{1}{π}$ 和 $e^{\cot (π x)}$ 。

$- \cot (π x) - \frac{e^{\cot (π x)}}{π} + C$

解题步骤 13

重新排序项。

$- \cot (π x) - \frac{1}{π} e^{\cot (π x)} + C$

解题步骤 14

答案是函数 $f (x) = (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \cot (π x) - \frac{1}{π} e^{\cot (π x)} + C$

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