微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

解题步骤 3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 重写成 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\int \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

解题步骤 3.2

通过将 $x^{\frac{2}{3}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d x$

解题步骤 3.3

将 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int x^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d x$

解题步骤 3.3.2

乘以 $\frac{2}{3} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\int x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d x$

解题步骤 3.3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int x^{\frac{- 2}{3}} d x$

解题步骤 3.3.3

将负号移到分数的前面。

$\int x^{- \frac{2}{3}} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{- \frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 。

$3 x^{\frac{1}{3}} + C$

解题步骤 5

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $3 x^{\frac{1}{3}} + C$

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