微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{4} \cdot \sin^{2} (2 x)$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{4} \cdot \sin^{2} (2 x) d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int \sin^{2} (2 x) d x$

解题步骤 4

使 $u_{1} = 2 x$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{1} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 4.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 4.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 4.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\frac{1}{4} \int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 5

组合 $\sin^{2} (u_{1})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} \int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 7.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{8} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 8

使用半角公式将 $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ 重新书写为 $\sin^{2} (u_{1})$ 的形式。

$\frac{1}{8} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{8}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 8} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 10.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{1}{16} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 11

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{16} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 12

应用常数不变法则。

$\frac{1}{16} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 13

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 14

使 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 14.1

设 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 14.1.1

对 $2 u_{1}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

解题步骤 14.1.2

因为 $2$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $2 u_{1}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 14.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 14.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 14.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

解题步骤 15

组合 $\cos (u_{2})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 16

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

解题步骤 17

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\sin (u_{2})$ 。

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

解题步骤 18

化简。

$\frac{1}{16} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

解题步骤 19

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 19.1

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

解题步骤 19.2

使用 $2 u_{1}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

解题步骤 19.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 (2 x))) + C$

解题步骤 20

化简。

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解题步骤 20.1

化简每一项。

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解题步骤 20.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x)) + C$

解题步骤 20.1.2

组合 $\sin (4 x)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

解题步骤 20.2

运用分配律。

$\frac{1}{16} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

解题步骤 20.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 20.3.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2 (8)} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

解题步骤 20.3.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2 (8)} (2 (x)) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

解题步骤 20.3.3

约去公因数。

$\frac{1}{2 \cdot 8} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

解题步骤 20.3.4

重写表达式。

$\frac{1}{8} x + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

解题步骤 20.4

组合 $\frac{1}{8}$ 和 $x$ 。

$\frac{x}{8} + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

解题步骤 20.5

乘以 $\frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2})$ 。

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解题步骤 20.5.1

将 $\frac{1}{16}$ 乘以 $\frac{\sin (4 x)}{2}$ 。

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (4 x)}{16 \cdot 2} + C$

解题步骤 20.5.2

将 $16$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (4 x)}{32} + C$

解题步骤 21

重新排序项。

$\frac{1}{8} x - \frac{1}{32} \sin (4 x) + C$

解题步骤 22

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{4} \cdot \sin^{2} (2 x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{8} x - \frac{1}{32} \sin (4 x) + C$

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