微积分学示例

$f (x) = \frac{10}{x^{9}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{10}{x^{9}} d x$

解题步骤 3

由于 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $10$ 移到积分外。

$10 \int \frac{1}{x^{9}} d x$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

通过将 $x^{9}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$10 \int {(x^{9})}^{- 1} d x$

解题步骤 4.2

将 ${(x^{9})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$10 \int x^{9 \cdot - 1} d x$

解题步骤 4.2.2

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$10 \int x^{- 9} d x$

$10 \int x^{- 9} d x$

$10 \int x^{- 9} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{- 9}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{8} x^{- 8}$ 。

$10 (- \frac{1}{8} x^{- 8} + C)$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简。

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解题步骤 6.1.1

组合 $x^{- 8}$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$10 (- \frac{x^{- 8}}{8} + C)$

解题步骤 6.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 8}$ 移动到分母。

$10 (- \frac{1}{8 x^{8}} + C)$

$10 (- \frac{1}{8 x^{8}} + C)$

解题步骤 6.2

化简。

$10 (- \frac{1}{8 x^{8}}) + C$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$- 10 \frac{1}{8 x^{8}} + C$

解题步骤 6.3.2

组合 $- 10$ 和 $\frac{1}{8 x^{8}}$ 。

$\frac{- 10}{8 x^{8}} + C$

解题步骤 6.3.3

约去 $- 10$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.1

从 $- 10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 5)}{8 x^{8}} + C$

解题步骤 6.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.3.2.1

从 $8 x^{8}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 5)}{2 (4 x^{8})} + C$

解题步骤 6.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 5}{2 (4 x^{8})} + C$

解题步骤 6.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{- 5}{4 x^{8}} + C$

$\frac{- 5}{4 x^{8}} + C$

$\frac{- 5}{4 x^{8}} + C$

解题步骤 6.3.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5}{4 x^{8}} + C$

$- \frac{5}{4 x^{8}} + C$

$- \frac{5}{4 x^{8}} + C$

解题步骤 7

答案是函数 $f (x) = \frac{10}{x^{9}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{5}{4 x^{8}} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$