微积分学示例

$f (x) = 8 \sqrt{x} + 5 \cos (x)$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 8 \sqrt{x} + 5 \cos (x) d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 8 \sqrt{x} d x + \int 5 \cos (x) d x$

解题步骤 4

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$8 \int \sqrt{x} d x + \int 5 \cos (x) d x$

解题步骤 5

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$8 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 5 \cos (x) d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$8 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int 5 \cos (x) d x$

解题步骤 7

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$8 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 5 \int \cos (x) d x$

解题步骤 8

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$8 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 5 (\sin (x) + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

$8 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + 5 \sin (x) + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

组合 $8$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{8 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 5 \sin (x) + C$

解题步骤 9.2.2

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$\frac{16}{3} x^{\frac{3}{2}} + 5 \sin (x) + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = 8 \sqrt{x} + 5 \cos (x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{16}{3} x^{\frac{3}{2}} + 5 \sin (x) + C$

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