微积分学示例

$f (x) = 9 x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{5}{4}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 9 x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{5}{4}} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 9 x^{\frac{4}{3}} d x + \int 4 x^{\frac{5}{4}} d x$

解题步骤 4

由于 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$9 \int x^{\frac{4}{3}} d x + \int 4 x^{\frac{5}{4}} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{\frac{4}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ 。

$9 (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C) + \int 4 x^{\frac{5}{4}} d x$

解题步骤 6

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$9 (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C) + 4 \int x^{\frac{5}{4}} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{\frac{5}{4}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}$ 。

$9 (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C) + 4 (\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}} + C)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

$9 (\frac{3}{7}) x^{\frac{7}{3}} + 4 (\frac{4}{9}) x^{\frac{9}{4}} + C$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

组合 $9$ 和 $\frac{3}{7}$ 。

$\frac{9 \cdot 3}{7} x^{\frac{7}{3}} + 4 (\frac{4}{9}) x^{\frac{9}{4}} + C$

解题步骤 8.2.2

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$\frac{27}{7} x^{\frac{7}{3}} + 4 (\frac{4}{9}) x^{\frac{9}{4}} + C$

解题步骤 8.2.3

组合 $4$ 和 $\frac{4}{9}$ 。

$\frac{27}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{4 \cdot 4}{9} x^{\frac{9}{4}} + C$

解题步骤 8.2.4

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{27}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{16}{9} x^{\frac{9}{4}} + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = 9 x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{5}{4}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{27}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{16}{9} x^{\frac{9}{4}} + C$

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