微积分学示例

$f (x) = 2 \sqrt{x} + 6$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 2 \sqrt{x} + 6 d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 \sqrt{x} d x + \int 6 d x$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \sqrt{x} d x + \int 6 d x$

解题步骤 5

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 6 d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int 6 d x$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 6 x + C$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 6 x + C$

解题步骤 8.2

化简。

$\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 6 x + C$

解题步骤 8.3

重新排序项。

$\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + 6 x + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = 2 \sqrt{x} + 6$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + 6 x + C$

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