微积分学示例

$f (x) = 3 x^{3} + 3 y^{3} - 6 x y$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 3 x^{3} + 3 y^{3} - 6 x y d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 3 x^{3} d x + \int 3 y^{3} d x + \int - 6 x y d x$

解题步骤 4

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int x^{3} d x + \int 3 y^{3} d x + \int - 6 x y d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 3 y^{3} d x + \int - 6 x y d x$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 3 y^{3} x + C + \int - 6 x y d x$

解题步骤 7

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$3 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 y^{3} x + C + \int - 6 x y d x$

解题步骤 8

由于 $- 6 y$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 6 y$ 移到积分外。

$3 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 y^{3} x + C - 6 y \int x d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$3 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 y^{3} x + C - 6 y (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$3 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 y^{3} x + C - 6 y (\frac{x^{2}}{2} + C)$

解题步骤 10.2

化简。

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x - 6 y \frac{x^{2}}{2} + C$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

组合 $- 6$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + y \frac{- 6 x^{2}}{2} + C$

解题步骤 10.3.2

组合 $y$ 和 $\frac{- 6 x^{2}}{2}$ 。

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + \frac{y (- 6 x^{2})}{2} + C$

解题步骤 10.3.3

约去 $- 6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.3.1

从 $y (- 6 x^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + \frac{2 (y (- 3 x^{2}))}{2} + C$

解题步骤 10.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 10.3.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + \frac{2 (y (- 3 x^{2}))}{2 (1)} + C$

解题步骤 10.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + \frac{2 (y (- 3 x^{2}))}{2 \cdot 1} + C$

解题步骤 10.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + \frac{y (- 3 x^{2})}{1} + C$

解题步骤 10.3.3.2.4

用 $y (- 3 x^{2})$ 除以 $1$ 。

$\frac{3 x^{4}}{4} + 3 y^{3} x + y (- 3 x^{2}) + C$

解题步骤 10.4

重新排序项。

$\frac{3}{4} x^{4} + 3 y^{3} x + y (- 3 x^{2}) + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = 3 x^{3} + 3 y^{3} - 6 x y$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{3}{4} x^{4} + 3 y^{3} x + y (- 3 x^{2}) + C$

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