微积分学示例

$3 x^{4} + 4 x^{3}$

解题步骤 1

将 $3 x^{4} + 4 x^{3}$ 书写为一个函数。

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $3 x^{4} + 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

解题步骤 2.1.2.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$12 x^{3} + 4 (3 x^{2})$

解题步骤 2.1.3.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $12 x^{3} + 12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

解题步骤 2.2.2.3

将 $3$ 乘以 $12$ 。

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

解题步骤 2.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$36 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$36 x^{2} + 12 (2 x)$

解题步骤 2.2.3.3

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $36 x^{2} + 24 x$ 。

$36 x^{2} + 24 x$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $36 x^{2} + 24 x = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$36 x^{2} + 24 x = 0$

解题步骤 3.2

从 $36 x^{2} + 24 x$ 中分解出因数 $12 x$ 。

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解题步骤 3.2.1

从 $36 x^{2}$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (3 x) + 24 x = 0$

解题步骤 3.2.2

从 $24 x$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (3 x) + 12 x (2) = 0$

解题步骤 3.2.3

从 $12 x (3 x) + 12 x (2)$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (3 x + 2) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$3 x + 2 = 0$

解题步骤 3.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.5

将 $3 x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $3 x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$3 x + 2 = 0$

解题步骤 3.5.2

求解 $x$ 的 $3 x + 2 = 0$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$3 x = - 2$

解题步骤 3.5.2.2

将 $3 x = - 2$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.5.2.2.1

将 $3 x = - 2$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

解题步骤 3.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

解题步骤 3.5.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 2}{3}$

解题步骤 3.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{2}{3}$

解题步骤 3.6

最终解为使 $12 x (3 x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - \frac{2}{3}$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $0$ 代入 $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = 3 {(0)}^{4} + 4 {(0)}^{3}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 3 \cdot 0 + 4 {(0)}^{3}$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 4 {(0)}^{3}$

解题步骤 4.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 4 \cdot 0$

解题步骤 4.1.2.1.4

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 4.1.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ 中求得的点为 $(0, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 0)$

解题步骤 4.3

将 $- \frac{2}{3}$ 代入 $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $- \frac{2}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 {(- \frac{2}{3})}^{4} + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.3.2.1.1.1

对 $- \frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} {(\frac{2}{3})}^{4}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

解题步骤 4.3.2.1.1.2

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{4} (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

解题步骤 4.3.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (1 (\frac{2^{4}}{3^{4}})) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

解题步骤 4.3.2.1.3

将 $\frac{2^{4}}{3^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{4}}{3^{4}}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

解题步骤 4.3.2.1.4

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3^{4}}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

解题步骤 4.3.2.1.5

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{81}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

解题步骤 4.3.2.1.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.6.1

从 $81$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 (27)}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

解题步骤 4.3.2.1.6.2

约去公因数。

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 \cdot 27}) + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

解题步骤 4.3.2.1.6.3

重写表达式。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 {(- \frac{2}{3})}^{3}$

解题步骤 4.3.2.1.7

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.3.2.1.7.1

对 $- \frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3})$

解题步骤 4.3.2.1.7.2

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3}}))$

解题步骤 4.3.2.1.8

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 (- \frac{2^{3}}{3^{3}})$

解题步骤 4.3.2.1.9

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 (- \frac{8}{3^{3}})$

解题步骤 4.3.2.1.10

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + 4 (- \frac{8}{27})$

解题步骤 4.3.2.1.11

乘以 $4 (- \frac{8}{27})$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.11.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 (\frac{8}{27})$

解题步骤 4.3.2.1.11.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{8}{27}$ 。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 4 \cdot 8}{27}$

解题步骤 4.3.2.1.11.3

将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 32}{27}$

解题步骤 4.3.2.1.12

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{32}{27}$

解题步骤 4.3.2.2

合并分数。

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解题步骤 4.3.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{16 - 32}{27}$

解题步骤 4.3.2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 4.3.2.2.2.1

从 $16$ 中减去 $32$ 。

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 16}{27}$

解题步骤 4.3.2.2.2.2

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{16}{27}$

解题步骤 4.3.2.3

最终答案为 $- \frac{16}{27}$ 。

$- \frac{16}{27}$

解题步骤 4.4

通过将 $- \frac{2}{3}$ 代入 $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ 中求得的点为 $(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$

解题步骤 4.5

确定可能是拐点的点。

$(0, 0), (- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27})$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - \frac{2}{3})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 0.7\overline{6}$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 36 {(- 0.7\overline{6})}^{2} + 24 (- 0.7\overline{6})$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 0.7\overline{6}$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 36 \cdot 0.58\overline{7} + 24 (- 0.7\overline{6})$

解题步骤 6.2.1.2

将 $36$ 乘以 $0.58\overline{7}$ 。

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 21.16 + 24 (- 0.7\overline{6})$

解题步骤 6.2.1.3

将 $24$ 乘以 $- 0.7\overline{6}$ 。

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 21.16 - 18.4$

解题步骤 6.2.2

从 $21.16$ 中减去 $18.4$ 。

$f'' (- 0.7\overline{6}) = 2.76$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $2.76$ 。

$2.76$

解题步骤 6.3

在 $- 0.7\overline{6}$ 处，二阶导数为 $2.76$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, - \frac{2}{3})$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - \frac{2}{3})$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(- \frac{2}{3}, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- 0.\overline{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.\overline{3}) = 36 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 24 (- 0.\overline{3})$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $- 0.\overline{3}$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.\overline{3}) = 36 \cdot 0.\overline{1} + 24 (- 0.\overline{3})$

解题步骤 7.2.1.2

将 $36$ 乘以 $0.\overline{1}$ 。

$f'' (- 0.\overline{3}) = 4 + 24 (- 0.\overline{3})$

解题步骤 7.2.1.3

将 $24$ 乘以 $- 0.\overline{3}$ 。

$f'' (- 0.\overline{3}) = 4 - 8$

解题步骤 7.2.2

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$f'' (- 0.\overline{3}) = - 4$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 4$ 。

$- 4$

解题步骤 7.3

在 $- 0.\overline{3}$ ，二阶导数为 $- 4$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \frac{2}{3}, 0)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \frac{2}{3}, 0)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(0, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.1) = 36 {(0.1)}^{2} + 24 (0.1)$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $0.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.1) = 36 \cdot 0.01 + 24 (0.1)$

解题步骤 8.2.1.2

将 $36$ 乘以 $0.01$ 。

$f'' (0.1) = 0.36 + 24 (0.1)$

解题步骤 8.2.1.3

将 $24$ 乘以 $0.1$ 。

$f'' (0.1) = 0.36 + 2.4$

解题步骤 8.2.2

将 $0.36$ 和 $2.4$ 相加。

$f'' (0.1) = 2.76$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $2.76$ 。

$2.76$

解题步骤 8.3

在 $0.1$ 处，二阶导数为 $2.76$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(0, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27}), (0, 0)$ 。

$(- \frac{2}{3}, - \frac{16}{27}), (0, 0)$

解题步骤 10

微积分学 示例

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