微积分学示例

$f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = {(x + h)}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

要将 $\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{h}$

解题步骤 4.1.2

要将 $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}}{h}$

解题步骤 4.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 ${(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 的形式。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}}{h}$

解题步骤 4.1.3.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}}{h}$

解题步骤 4.1.3.3

重新排序 ${(x + h)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 的因式。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}}{h}$

解题步骤 4.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}}{h}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3

将 $\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{h}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} h}$

解题步骤 4.4

将 $\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} h}$ 中的因式重新排序。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}{h x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

微积分学 示例

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