微积分学示例

$f (x) = \frac{1 - x}{3 + x}$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{1 - (x + h)}{3 + x + h}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.1

去掉圆括号。

$f (x + h) = \frac{1 - (x + h)}{3 + x + h}$

解题步骤 2.1.2.2

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{1 - x - h}{3 + x + h}$

解题步骤 2.1.2.3

最终答案为 $\frac{1 - x - h}{3 + x + h}$ 。

$\frac{1 - x - h}{3 + x + h}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = \frac{1 - x - h}{3 + x + h}$

$f (x) = \frac{1 - x}{3 + x}$

$f (x + h) = \frac{1 - x - h}{3 + x + h}$

$f (x) = \frac{1 - x}{3 + x}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1 - x - h}{3 + x + h} - (\frac{1 - x}{3 + x})}{h}$

解题步骤 4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

要将 $\frac{1 - x - h}{3 + x + h}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 + x}{3 + x}$ 。

$\frac{\frac{1 - x - h}{3 + x + h} \cdot \frac{3 + x}{3 + x} - \frac{1 - x}{3 + x}}{h}$

解题步骤 4.1.2

要将 $- \frac{1 - x}{3 + x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 + x + h}{3 + x + h}$ 。

$\frac{\frac{1 - x - h}{3 + x + h} \cdot \frac{3 + x}{3 + x} - \frac{1 - x}{3 + x} \cdot \frac{3 + x + h}{3 + x + h}}{h}$

解题步骤 4.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(3 + x + h) (3 + x)$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.1

将 $\frac{1 - x - h}{3 + x + h}$ 乘以 $\frac{3 + x}{3 + x}$ 。

$\frac{\frac{(1 - x - h) (3 + x)}{(3 + x + h) (3 + x)} - \frac{1 - x}{3 + x} \cdot \frac{3 + x + h}{3 + x + h}}{h}$

解题步骤 4.1.3.2

将 $\frac{1 - x}{3 + x}$ 乘以 $\frac{3 + x + h}{3 + x + h}$ 。

$\frac{\frac{(1 - x - h) (3 + x)}{(3 + x + h) (3 + x)} - \frac{(1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.3.3

重新排序 $(3 + x + h) (3 + x)$ 的因式。

$\frac{\frac{(1 - x - h) (3 + x)}{(3 + x) (3 + x + h)} - \frac{(1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{(1 - x - h) (3 + x) - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5

以因式分解的形式重写 $\frac{(1 - x - h) (3 + x) - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(1 - x - h) (3 + x)$ 。

$\frac{\frac{1 \cdot 3 + 1 x - x \cdot 3 - x \cdot x - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.2.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{3 + 1 x - x \cdot 3 - x \cdot x - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{3 + x - x \cdot 3 - x \cdot x - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{3 + x - 3 x - x \cdot x - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.2.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{\frac{3 + x - 3 x - (x \cdot x) - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{3 + x - 3 x - x^{2} - h \cdot 3 - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.5

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{3 + x - 3 x - x^{2} - 3 h - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3

从 $x$ 中减去 $3 x$ 。

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - (1 - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.4

运用分配律。

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x + (- 1 \cdot 1 - - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x + (- 1 - - x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6

乘以 $- - x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x + (- 1 + 1 x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x + (- 1 + x) (3 + x + h)}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.7

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- 1 + x) (3 + x + h)$ 。

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 1 \cdot 3 - 1 x - 1 h + x \cdot 3 + x \cdot x + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.8

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.8.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 - 1 x - 1 h + x \cdot 3 + x \cdot x + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.8.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 - x - 1 h + x \cdot 3 + x \cdot x + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.8.3

将 $- 1 h$ 重写为 $- h$ 。

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 - x - h + x \cdot 3 + x \cdot x + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.8.4

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 - x - h + 3 \cdot x + x \cdot x + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.8.5

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 - x - h + 3 x + x^{2} + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.9

将 $- x$ 和 $3 x$ 相加。

$\frac{\frac{3 - 2 x - x^{2} - 3 h - h x - 3 + 2 x - h + x^{2} + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.10

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{\frac{- 2 x - x^{2} - 3 h - h x + 0 + 2 x - h + x^{2} + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.11

将 $- 2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{- x^{2} - 3 h - h x - 2 x + 2 x - h + x^{2} + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.12

将 $- x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{\frac{- 3 h - h x - 2 x + 2 x - h + 0 + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.13

从 $- 3 h$ 中减去 $h$ 。

$\frac{\frac{- h x - 2 x + 2 x - 4 h + 0 + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.14

将 $- h x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{- h x - 2 x + 2 x - 4 h + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.15

将 $- h x$ 和 $x h$ 相加。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.15.1

移动 $h$ 。

$\frac{\frac{- 2 x + 2 x - 4 h - 1 x h + x h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.15.2

将 $- 1 x h$ 和 $x h$ 相加。

$\frac{\frac{- 2 x + 2 x - 4 h + 0}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.16

将 $- 2 x + 2 x - 4 h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{- 2 x + 2 x - 4 h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.17

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{\frac{0 - 4 h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.18

从 $0$ 中减去 $4 h$ 。

$\frac{\frac{- 4 h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{4 h}{(3 + x) (3 + x + h)}}{h}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{4 h}{(3 + x) (3 + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3

约去 $h$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

将 $- \frac{4 h}{(3 + x) (3 + x + h)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 4 h}{(3 + x) (3 + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.2

从 $- 4 h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h \cdot - 4}{(3 + x) (3 + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.3

约去公因数。

$\frac{h \cdot - 4}{(3 + x) (3 + x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.4

重写表达式。

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 + x + h)}$

解题步骤 4.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{(3 + x) (3 + x + h)}$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例