微积分学示例

$f (x) = - x^{3}$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = - {(x + h)}^{3}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

使用二项式定理。

$f (x + h) = - (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

解题步骤 2.1.2.2

运用分配律。

$f (x + h) = - x^{3} - (3 x^{2} h) - (3 x h^{2}) - h^{3}$

解题步骤 2.1.2.3

化简。

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解题步骤 2.1.2.3.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (x + h) = - x^{3} - 3 (x^{2} h) - (3 x h^{2}) - h^{3}$

解题步骤 2.1.2.3.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (x + h) = - x^{3} - 3 (x^{2} h) - 3 (x h^{2}) - h^{3}$

解题步骤 2.1.2.4

去掉圆括号。

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3}$

解题步骤 2.1.2.5

最终答案为 $- x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3}$ 。

$- x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3}$

解题步骤 2.2

重新排序。

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解题步骤 2.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$- x^{3} - 3 h x^{2} - 3 x h^{2} - h^{3}$

解题步骤 2.2.2

移动 $x$ 。

$- x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3}$

解题步骤 2.2.3

移动 $- x^{3}$ 。

$- 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} - x^{3}$

解题步骤 2.2.4

移动 $- 3 h x^{2}$ 。

$- 3 h^{2} x - h^{3} - 3 h x^{2} - x^{3}$

解题步骤 2.2.5

将 $- 3 h^{2} x$ 和 $- h^{3}$ 重新排序。

$- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3}$

解题步骤 2.3

求定义的补集。

$f (x + h) = - h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3}$

$f (x) = - x^{3}$

$f (x + h) = - h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3}$

$f (x) = - x^{3}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} - (- x^{3})}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

乘以 $- - x^{3}$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 1 x^{3}}{h}$

解题步骤 4.1.1.2

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + x^{3}}{h}$

解题步骤 4.1.2

将 $- x^{3}$ 和 $x^{3}$ 相加。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 0}{h}$

解题步骤 4.1.3

将 $- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.4

从 $- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

从 $- h^{3}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- h^{2}) - 3 h^{2} x - 3 h x^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.4.2

从 $- 3 h^{2} x$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) - 3 h x^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.4.3

从 $- 3 h x^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) + h (- 3 x^{2})}{h}$

解题步骤 4.1.4.4

从 $h (- h^{2}) + h (- 3 h x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x) + h (- 3 x^{2})}{h}$

解题步骤 4.1.4.5

从 $h (- h^{2} - 3 h x) + h (- 3 x^{2})$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2})}{h}$

解题步骤 4.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2})}{h}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2}$

解题步骤 4.2.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.1

移动 $h$ 。

$- h^{2} - 3 x h - 3 x^{2}$

解题步骤 4.2.2.2

移动 $- h^{2}$ 。

$- 3 x h - 3 x^{2} - h^{2}$

解题步骤 4.2.2.3

将 $- 3 x h$ 和 $- 3 x^{2}$ 重新排序。

$- 3 x^{2} - 3 x h - h^{2}$

解题步骤 5

微积分学 示例

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