微积分学示例

$f (x) = \frac{2}{x^{2}}$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{2}{{(x + h)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2

最终答案为 $\frac{2}{{(x + h)}^{2}}$ 。

$\frac{2}{{(x + h)}^{2}}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = \frac{2}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{2}{x^{2}}$

$f (x + h) = \frac{2}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{2}{x^{2}}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2}{{(x + h)}^{2}} - (\frac{2}{x^{2}})}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

要将 $\frac{2}{{(x + h)}^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 。

$\frac{\frac{2}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}}}{h}$

解题步骤 4.1.2

要将 $- \frac{2}{x^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ 。

$\frac{\frac{2}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

解题步骤 4.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 ${(x + h)}^{2} x^{2}$ 的形式。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $\frac{2}{{(x + h)}^{2}}$ 乘以 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 。

$\frac{\frac{2 x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

解题步骤 4.1.3.2

将 $\frac{2}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ 。

$\frac{\frac{2 x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{2 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

解题步骤 4.1.3.3

重新排序 ${(x + h)}^{2} x^{2}$ 的因式。

$\frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}} - \frac{2 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

解题步骤 4.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 x^{2} - 2 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

解题步骤 4.1.5

化简分子。

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解题步骤 4.1.5.1

从 $2 x^{2} - 2 {(x + h)}^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.1.5.1.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 (x^{2}) - 2 {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.1.2

从 $- 2 {(x + h)}^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 (x^{2}) + 2 (- {(x + h)}^{2})}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.1.3

从 $2 (x^{2}) + 2 (- {(x + h)}^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 (x^{2} - {(x + h)}^{2})}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = x + h$ 。

$\frac{\frac{2 ((x + x + h) (x - (x + h)))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3

化简。

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解题步骤 4.1.5.3.1

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{\frac{2 ((2 x + h) (x - (x + h)))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3.2

运用分配律。

$\frac{\frac{2 ((2 x + h) (x - x - h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{\frac{2 ((2 x + h) (0 - h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3.4

从 $0$ 中减去 $h$ 。

$\frac{\frac{2 ((2 x + h) \cdot - 1 h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3.5

提取负因数。

$\frac{\frac{2 (- ((2 x + h) h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

$\frac{\frac{2 \cdot - 1 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.4

合并指数。

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解题步骤 4.1.5.4.1

提取负因数。

$\frac{\frac{- (2 (2 x + h) h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- 2 ((2 x + h) h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

$\frac{\frac{- 2 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

解题步骤 4.1.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{2 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{2 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

将 $- \frac{2 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 2 (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.2

从 $- 2 (2 x + h) h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- 2 (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.3

约去公因数。

$\frac{h (- 2 (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.4

重写表达式。

$\frac{- 2 (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

解题步骤 4.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

解题步骤 5

微积分学 示例

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