微积分学示例

$f (x) = 9 x^{4} - 82 x^{2} + 9$

解题步骤 1

将 $9 x^{4} - 82 x^{2} + 9$ 设为等于 $0$ 。

$9 x^{4} - 82 x^{2} + 9 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

将 $u = x^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$9 u^{2} - 82 u + 9 = 0$

$u = x^{2}$

解题步骤 2.2

分组因式分解。

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解题步骤 2.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 9 \cdot 9 = 81$ 并且它们的和为 $b = - 82$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $- 82 u$ 中分解出因数 $- 82$ 。

$9 u^{2} - 82 u + 9 = 0$

解题步骤 2.2.1.2

把 $- 82$ 重写为 $- 1$ 加 $- 81$

$9 u^{2} + (- 1 - 81) u + 9 = 0$

解题步骤 2.2.1.3

运用分配律。

$9 u^{2} - 1 u - 81 u + 9 = 0$

解题步骤 2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(9 u^{2} - 1 u) - 81 u + 9 = 0$

解题步骤 2.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u (9 u - 1) - 9 (9 u - 1) = 0$

解题步骤 2.2.3

通过因式分解出最大公因数 $9 u - 1$ 来因式分解多项式。

$(9 u - 1) (u - 9) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$9 u - 1 = 0$

$u - 9 = 0$

解题步骤 2.4

将 $9 u - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $9 u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$9 u - 1 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $u$ 的 $9 u - 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$9 u = 1$

解题步骤 2.4.2.2

将 $9 u = 1$ 中的每一项除以 $9$ 并化简。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $9 u = 1$ 中的每一项都除以 $9$ 。

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

解题步骤 2.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

解题步骤 2.4.2.2.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{1}{9}$

解题步骤 2.5

将 $u - 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $u - 9$ 设为等于 $0$ 。

$u - 9 = 0$

解题步骤 2.5.2

在等式两边都加上 $9$ 。

$u = 9$

解题步骤 2.6

最终解为使 $(9 u - 1) (u - 9) = 0$ 成立的所有值。

$u = \frac{1}{9}, 9$

解题步骤 2.7

将 $u = x^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

$x^{2} = \frac{1}{9}$

${(x^{2})}^{1} = 9$

解题步骤 2.8

求解 $x$ 的第一个方程。

$x^{2} = \frac{1}{9}$

解题步骤 2.9

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

解题步骤 2.9.2

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$ 。

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解题步骤 2.9.2.1

将 $\sqrt{\frac{1}{9}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

解题步骤 2.9.2.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{9}}$

解题步骤 2.9.2.3

化简分母。

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解题步骤 2.9.2.3.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

解题步骤 2.9.2.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm \frac{1}{3}$

解题步骤 2.9.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.9.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{1}{3}$

解题步骤 2.9.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{1}{3}$

解题步骤 2.9.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

解题步骤 2.10

求解 $x$ 的第二个方程。

${(x^{2})}^{1} = 9$

解题步骤 2.11

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.11.1

去掉圆括号。

$x^{2} = 9$

解题步骤 2.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

解题步骤 2.11.3

化简 $\pm \sqrt{9}$ 。

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解题步骤 2.11.3.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 2.11.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 3$

解题步骤 2.11.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.11.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 3$

解题步骤 2.11.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 3$

解题步骤 2.11.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 3, - 3$

解题步骤 2.12

$9 x^{4} - 82 x^{2} + 9 = 0$ 的解是 $x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, 3, - 3$ 。

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, 3, - 3$

解题步骤 3

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