微积分学示例

$f (x) = {(2 x - 1)}^{2}$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = {(2 (x + h) - 1)}^{2}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

通过相乘进行化简。

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解题步骤 2.1.2.1.1

运用分配律。

$f (x + h) = {(2 x + 2 h - 1)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.2

将 ${(2 x + 2 h - 1)}^{2}$ 重写为 $(2 x + 2 h - 1) (2 x + 2 h - 1)$ 。

$f (x + h) = (2 x + 2 h - 1) (2 x + 2 h - 1)$

解题步骤 2.1.2.2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(2 x + 2 h - 1) (2 x + 2 h - 1)$ 。

$f (x + h) = 2 x (2 x) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.1.2.3

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$f (x + h) = 2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.1.2.3.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.2.3.2.1

移动 $x$ 。

$f (x + h) = 2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.1.2.3.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x + h) = 2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.1.2.3.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 2 x (2 h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.1.2.3.4

使用乘法的交换性质重写。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 2 \cdot (2 x h) + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.1.2.3.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h + 2 x \cdot - 1 + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.1.2.3.6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 2 h (2 x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.1.2.3.7

使用乘法的交换性质重写。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 2 \cdot (2 h x) + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.1.2.3.8

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 h (2 h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.1.2.3.9

使用乘法的交换性质重写。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 \cdot (2 h \cdot h) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.1.2.3.10

通过指数相加将 $h$ 乘以 $h$ 。

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解题步骤 2.1.2.3.10.1

移动 $h$ 。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 \cdot (2 (h \cdot h)) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.1.2.3.10.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 2 \cdot (2 h^{2}) + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.1.2.3.11

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} + 2 h \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.1.2.3.12

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 1 (2 x) - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.1.2.3.13

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 1 (2 h) - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.1.2.3.14

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h - 1 \cdot - 1$

解题步骤 2.1.2.3.15

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 x h - 2 x + 4 h x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 1$

解题步骤 2.1.2.4

将 $4 x h$ 和 $4 h x$ 相加。

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解题步骤 2.1.2.4.1

移动 $x$ 。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 h x + 4 h x - 2 x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 1$

解题步骤 2.1.2.4.2

将 $4 h x$ 和 $4 h x$ 相加。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x - 2 x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x - 2 h + 1$

解题步骤 2.1.2.5

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 2 h - 4 x - 2 h + 1$

解题步骤 2.1.2.6

从 $- 2 h$ 中减去 $2 h$ 。

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 4 h - 4 x + 1$

解题步骤 2.1.2.7

最终答案为 $4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 4 h - 4 x + 1$ 。

$4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 4 h - 4 x + 1$

解题步骤 2.2

重新排序。

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解题步骤 2.2.1

移动 $4 x^{2}$ 。

$8 h x + 4 h^{2} + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

解题步骤 2.2.2

将 $8 h x$ 和 $4 h^{2}$ 重新排序。

$4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

解题步骤 2.3

求定义的补集。

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

$f (x) = 4 x^{2} - 4 x + 1$

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1$

$f (x) = 4 x^{2} - 4 x + 1$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - (4 x^{2} - 4 x + 1)}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 1}{h}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - 4 x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 1}{h}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - 4 x^{2} + 4 x - 1 \cdot 1}{h}$

解题步骤 4.1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 h - 4 x + 1 - 4 x^{2} + 4 x - 1}{h}$

解题步骤 4.1.3

从 $4 x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h - 4 x + 1 + 0 + 4 x - 1}{h}$

解题步骤 4.1.4

将 $4 h^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h - 4 x + 1 + 4 x - 1}{h}$

解题步骤 4.1.5

将 $- 4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h + 0 + 1 - 1}{h}$

解题步骤 4.1.6

将 $4 h^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h + 1 - 1}{h}$

解题步骤 4.1.7

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h + 0}{h}$

解题步骤 4.1.8

将 $4 h^{2} + 8 h x - 4 h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.9

从 $4 h^{2} + 8 h x - 4 h$ 中分解出因数 $4 h$ 。

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解题步骤 4.1.9.1

从 $4 h^{2}$ 中分解出因数 $4 h$ 。

$\frac{4 h \cdot h + 8 h x - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.9.2

从 $8 h x$ 中分解出因数 $4 h$ 。

$\frac{4 h \cdot h + 4 h (2 x) - 4 h}{h}$

解题步骤 4.1.9.3

从 $- 4 h$ 中分解出因数 $4 h$ 。

$\frac{4 h \cdot h + 4 h (2 x) + 4 h \cdot - 1}{h}$

解题步骤 4.1.9.4

从 $4 h \cdot h + 4 h (2 x)$ 中分解出因数 $4 h$ 。

$\frac{4 h (h + 2 x) + 4 h \cdot - 1}{h}$

解题步骤 4.1.9.5

从 $4 h (h + 2 x) + 4 h \cdot - 1$ 中分解出因数 $4 h$ 。

$\frac{4 h (h + 2 x - 1)}{h}$

解题步骤 4.2

化简项。

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解题步骤 4.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 h (h + 2 x - 1)}{h}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $4 (h + 2 x - 1)$ 除以 $1$ 。

$4 (h + 2 x - 1)$

解题步骤 4.2.2

运用分配律。

$4 h + 4 (2 x) + 4 \cdot - 1$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$4 h + 8 x + 4 \cdot - 1$

解题步骤 4.3.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$4 h + 8 x - 4$

解题步骤 4.4

将 $4 h$ 和 $8 x$ 重新排序。

$8 x + 4 h - 4$

解题步骤 5

微积分学 示例

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