微积分学示例

$\cos (x y) = x - y$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\cos (x y)) = \frac{d}{d x} (x - y)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = x y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x y$ 。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 2.1.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $x y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

解题步骤 2.5

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$- \sin (x y) (x y' + y)$

解题步骤 2.6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.1

运用分配律。

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y$

解题步骤 2.6.2

重新排序项。

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

根据加法法则， $x - y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [- y]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [y]$ 。

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$1 - y'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = 1 - y'$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

将 $- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ 中的因式重新排序。

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = 1 - y'$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $y'$ 。

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) + y' = 1$

解题步骤 5.3

在等式两边都加上 $y \sin (x y)$ 。

$- x y' \sin (x y) + y' = 1 + y \sin (x y)$

解题步骤 5.4

从 $- x y' \sin (x y) + y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1

从 $- x y' \sin (x y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- x \sin (x y)) + y' = 1 + y \sin (x y)$

解题步骤 5.4.2

对 $y'$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' (- x \sin (x y)) + y' = 1 + y \sin (x y)$

解题步骤 5.4.3

从 ${y'}^{1}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- x \sin (x y)) + y' \cdot 1 = 1 + y \sin (x y)$

解题步骤 5.4.4

从 $y' (- x \sin (x y)) + y' \cdot 1$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- x \sin (x y) + 1) = 1 + y \sin (x y)$

解题步骤 5.5

将 $y' (- x \sin (x y) + 1) = 1 + y \sin (x y)$ 中的每一项除以 $- x \sin (x y) + 1$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.1

将 $y' (- x \sin (x y) + 1) = 1 + y \sin (x y)$ 中的每一项都除以 $- x \sin (x y) + 1$ 。

$\frac{y' (- x \sin (x y) + 1)}{- x \sin (x y) + 1} = \frac{1}{- x \sin (x y) + 1} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) + 1}$

解题步骤 5.5.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.2.1

约去 $- x \sin (x y) + 1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (- x \sin (x y) + 1)}{- x \sin (x y) + 1} = \frac{1}{- x \sin (x y) + 1} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) + 1}$

解题步骤 5.5.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{1}{- x \sin (x y) + 1} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) + 1}$

解题步骤 5.5.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- x \sin (x y) + 1}$

解题步骤 5.5.3.2

从 $- x \sin (x y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) + 1}$

解题步骤 5.5.3.3

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - 1 (- 1)}$

解题步骤 5.5.3.4

从 $- (x \sin (x y)) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- (x \sin (x y) - 1)}$

解题步骤 5.5.3.5

重写负数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.3.5.1

将 $- (x \sin (x y) - 1)$ 重写为 $- 1 (x \sin (x y) - 1)$ 。

$y' = \frac{1 + y \sin (x y)}{- 1 (x \sin (x y) - 1)}$

解题步骤 5.5.3.5.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{1 + y \sin (x y)}{x \sin (x y) - 1}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y \sin (x y)}{x \sin (x y) - 1}$

微积分学 示例

微积分学示例