微积分学示例

$P (t) = 20 {(65 + 5 t)}^{2} - 1300 t$ , $t = 8$

解题步骤 1

函数的百分比变化率是位于 $8$ 处的导数（变化率）与位于 $8$ 处的函数值之比。

$\frac{f' (8)}{f (8)}$

解题步骤 2

将函数代入公式以求变化率百分比函数。

$\frac{1000 t + 11700}{20 {(65 + 5 t)}^{2} - 1300 t}$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

约去 $1000 t + 11700$ 和 $20 {(65 + 5 t)}^{2} - 1300 t$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $1000 t$ 中分解出因数 $20$ 。

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{20 (50 t) + 11700}{20 {(65 + 5 t)}^{2} - 1300 t}$

解题步骤 3.1.2

从 $11700$ 中分解出因数 $20$ 。

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{20 (50 t) + 20 \cdot 585}{20 {(65 + 5 t)}^{2} - 1300 t}$

解题步骤 3.1.3

从 $20 (50 t) + 20 (585)$ 中分解出因数 $20$ 。

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{20 (50 t + 585)}{20 {(65 + 5 t)}^{2} - 1300 t}$

解题步骤 3.1.4

约去公因数。

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解题步骤 3.1.4.1

从 $20 {(65 + 5 t)}^{2}$ 中分解出因数 $20$ 。

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{20 (50 t + 585)}{20 ({(65 + 5 t)}^{2}) - 1300 t}$

解题步骤 3.1.4.2

从 $- 1300 t$ 中分解出因数 $20$ 。

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{20 (50 t + 585)}{20 ({(65 + 5 t)}^{2}) + 20 (- 65 t)}$

解题步骤 3.1.4.3

从 $20 ({(65 + 5 t)}^{2}) + 20 (- 65 t)$ 中分解出因数 $20$ 。

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{20 (50 t + 585)}{20 ({(65 + 5 t)}^{2} - 65 t)}$

解题步骤 3.1.4.4

约去公因数。

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{20 (50 t + 585)}{20 ({(65 + 5 t)}^{2} - 65 t)}$

解题步骤 3.1.4.5

重写表达式。

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{50 t + 585}{{(65 + 5 t)}^{2} - 65 t}$

解题步骤 3.2

从 $50 t + 585$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 3.2.1

从 $50 t$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t) + 585}{{(65 + 5 t)}^{2} - 65 t}$

解题步骤 3.2.2

从 $585$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t) + 5 (117)}{{(65 + 5 t)}^{2} - 65 t}$

解题步骤 3.2.3

从 $5 (10 t) + 5 (117)$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{{(65 + 5 t)}^{2} - 65 t}$

解题步骤 4

化简分母。

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解题步骤 4.1

使 $u = t$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{4225 + 25 u^{2} + 585 u}$

解题步骤 4.2

从 $4225 + 25 u^{2} + 585 u$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 4.2.1

从 $4225$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (845) + 25 u^{2} + 585 u}$

解题步骤 4.2.2

从 $25 u^{2}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (845) + 5 (5 u^{2}) + 585 u}$

解题步骤 4.2.3

从 $585 u$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (845) + 5 (5 u^{2}) + 5 (117 u)}$

解题步骤 4.2.4

从 $5 (845) + 5 (5 u^{2})$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (845 + 5 u^{2}) + 5 (117 u)}$

解题步骤 4.2.5

从 $5 (845 + 5 u^{2}) + 5 (117 u)$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (845 + 5 u^{2} + 117 u)}$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (5 u^{2} + 117 u + 845)}$

解题步骤 4.4

使用 $t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (5 t^{2} + 117 t + 845)}$

解题步骤 5

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.1

约去公因数。

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (5 t^{2} + 117 t + 845)}$

解题步骤 5.2

重写表达式。

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{10 t + 117}{5 t^{2} + 117 t + 845}$

解题步骤 6

计算公式在 $t = 8$ 处的值。

$\frac{10 (8) + 117}{5 {(8)}^{2} + 117 (8) + 845}$

解题步骤 7

化简 $\frac{10 (8) + 117}{5 {(8)}^{2} + 117 (8) + 845}$ 。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

将 $10$ 乘以 $8$ 。

$\frac{80 + 117}{5 \cdot 8^{2} + 117 (8) + 845}$

解题步骤 7.1.2

将 $80$ 和 $117$ 相加。

$\frac{197}{5 \cdot 8^{2} + 117 (8) + 845}$

解题步骤 7.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{197}{5 \cdot 64 + 117 (8) + 845}$

解题步骤 7.2.2

将 $5$ 乘以 $64$ 。

$\frac{197}{320 + 117 (8) + 845}$

解题步骤 7.2.3

将 $117$ 乘以 $8$ 。

$\frac{197}{320 + 936 + 845}$

解题步骤 7.2.4

将 $320$ 和 $936$ 相加。

$\frac{197}{1256 + 845}$

解题步骤 7.2.5

将 $1256$ 和 $845$ 相加。

$\frac{197}{2101}$

解题步骤 8

将 $\frac{197}{2101}$ 转换成一个小数。

$0.09376487$

解题步骤 9

把 $0.09376487$ 转换成一个百分数。

$9.37648738$ %

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