微积分学示例

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 9}$ , $x = 4$

解题步骤 1

函数的百分比变化率是位于 $4$ 处的导数（变化率）与位于 $4$ 处的函数值之比。

$\frac{f' (4)}{f (4)}$

解题步骤 2

将函数代入公式以求变化率百分比函数。

$\frac{\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x^{2} + 9}}$

解题步骤 3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}$

解题步骤 4

合并分数。

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解题步骤 4.1

合并。

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x \cdot 1}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{2} + 9}}$

解题步骤 4.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{2} + 9}}$

解题步骤 5

化简分母。

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解题步骤 5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 9}$ 重写成 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

解题步骤 5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.1

约去公因数。

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.5.2

重写表达式。

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{x^{2} + 9}$

解题步骤 6

计算公式在 $x = 4$ 处的值。

$\frac{4}{{({(4)}^{2} + 9)}^{1}}$

解题步骤 7

化简分母。

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解题步骤 7.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4}{{(16 + 9)}^{1}}$

解题步骤 7.2

将 $16$ 和 $9$ 相加。

$\frac{4}{25^{1}}$

解题步骤 7.3

计算指数。

$\frac{4}{25}$

解题步骤 8

将 $\frac{4}{25}$ 转换成一个小数。

$0.16$

解题步骤 9

把 $0.16$ 转换成一个百分数。

$16$ %

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