微积分学示例

$H (u) = (u - \sqrt{u}) (u + \sqrt{u})$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (u + h) - f u}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = u + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $u + h$ 替换变量 $u$ 。

$H (u + h) = ((u + h) - \sqrt{u + h}) ((u + h) + \sqrt{u + h})$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(u + h - \sqrt{u + h}) (u + h + \sqrt{u + h})$ 。

$H (u + h) = u \cdot u + u h + u \sqrt{u + h} + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} - \sqrt{u + h} u - \sqrt{u + h} h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

解题步骤 2.1.2.2

化简项。

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解题步骤 2.1.2.2.1

合并 $u \cdot u + u h + u \sqrt{u + h} + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} - \sqrt{u + h} u - \sqrt{u + h} h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$ 中相反的项。

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解题步骤 2.1.2.2.1.1

按照 $u \sqrt{u + h}$ 和 $- \sqrt{u + h} u$ 重新排列因数。

$H (u + h) = u \cdot u + u h + u \sqrt{u + h} + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} - u \sqrt{u + h} - \sqrt{u + h} h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

解题步骤 2.1.2.2.1.2

从 $u \sqrt{u + h}$ 中减去 $u \sqrt{u + h}$ 。

$H (u + h) = u \cdot u + u h + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} + 0 - \sqrt{u + h} h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

解题步骤 2.1.2.2.1.3

将 $u \cdot u + u h + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h}$ 和 $0$ 相加。

$H (u + h) = u \cdot u + u h + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} - \sqrt{u + h} h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

解题步骤 2.1.2.2.1.4

按照 $h \sqrt{u + h}$ 和 $- \sqrt{u + h} h$ 重新排列因数。

$H (u + h) = u \cdot u + u h + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} - h \sqrt{u + h} - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

解题步骤 2.1.2.2.1.5

从 $h \sqrt{u + h}$ 中减去 $h \sqrt{u + h}$ 。

$H (u + h) = u \cdot u + u h + h u + h \cdot h + 0 - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

解题步骤 2.1.2.2.1.6

将 $u \cdot u + u h + h u + h \cdot h$ 和 $0$ 相加。

$H (u + h) = u \cdot u + u h + h u + h \cdot h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

解题步骤 2.1.2.2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.2.2.1

将 $u$ 乘以 $u$ 。

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h \cdot h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

解题步骤 2.1.2.2.2.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

解题步骤 2.1.2.2.2.3

乘以 $- \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.2.3.1

对 $\sqrt{u + h}$ 进行 $1$ 次方运算。

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - (\sqrt{u + h} \sqrt{u + h})$

解题步骤 2.1.2.2.2.3.2

对 $\sqrt{u + h}$ 进行 $1$ 次方运算。

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - (\sqrt{u + h} \sqrt{u + h})$

解题步骤 2.1.2.2.2.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {\sqrt{u + h}}^{1 + 1}$

解题步骤 2.1.2.2.2.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {\sqrt{u + h}}^{2}$

解题步骤 2.1.2.2.2.4

将 ${\sqrt{u + h}}^{2}$ 重写为 $u + h$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u + h}$ 重写成 ${(u + h)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {({(u + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 2.1.2.2.2.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {(u + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 2.1.2.2.2.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {(u + h)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.1.2.2.2.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.2.4.4.1

约去公因数。

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {(u + h)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.1.2.2.2.4.4.2

重写表达式。

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - (u + h)$

解题步骤 2.1.2.2.2.4.5

化简。

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - (u + h)$

解题步骤 2.1.2.2.2.5

运用分配律。

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - u - h$

解题步骤 2.1.2.3

将 $u h$ 和 $h u$ 相加。

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解题步骤 2.1.2.3.1

将 $u$ 和 $h$ 重新排序。

$H (u + h) = u^{2} + h u + h u + h^{2} - u - h$

解题步骤 2.1.2.3.2

将 $h u$ 和 $h u$ 相加。

$H (u + h) = u^{2} + 2 h u + h^{2} - u - h$

解题步骤 2.1.2.4

最终答案为 $u^{2} + 2 h u + h^{2} - u - h$ 。

$u^{2} + 2 h u + h^{2} - u - h$

解题步骤 2.2

重新排序。

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解题步骤 2.2.1

移动 $- u$ 。

$u^{2} + 2 h u + h^{2} - h - u$

解题步骤 2.2.2

移动 $u^{2}$ 。

$2 h u + h^{2} + u^{2} - h - u$

解题步骤 2.2.3

将 $2 h u$ 和 $h^{2}$ 重新排序。

$h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u$

解题步骤 2.3

求定义的补集。

$H (u + h) = h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u$

$H (u) = u^{2} - u$

$H (u + h) = h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u$

$H (u) = u^{2} - u$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{H (u + h) - H u}{h} = \frac{h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u - (u^{2} - u)}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u - u^{2} - - u}{h}$

解题步骤 4.1.2

乘以 $- - u$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u - u^{2} + 1 u}{h}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$\frac{h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u - u^{2} + u}{h}$

解题步骤 4.1.3

从 $u^{2}$ 中减去 $u^{2}$ 。

$\frac{h^{2} + 2 h u - h - u + 0 + u}{h}$

解题步骤 4.1.4

将 $h^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{h^{2} + 2 h u - h - u + u}{h}$

解题步骤 4.1.5

将 $- u$ 和 $u$ 相加。

$\frac{h^{2} + 2 h u - h + 0}{h}$

解题步骤 4.1.6

将 $h^{2} + 2 h u - h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{h^{2} + 2 h u - h}{h}$

解题步骤 4.1.7

从 $h^{2} + 2 h u - h$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 4.1.7.1

从 $h^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h \cdot h + 2 h u - h}{h}$

解题步骤 4.1.7.2

从 $2 h u$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h) + h (2 u) - h}{h}$

解题步骤 4.1.7.3

从 $- h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h) + h (2 u) + h \cdot - 1}{h}$

解题步骤 4.1.7.4

从 $h (h) + h (2 u)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h + 2 u) + h \cdot - 1}{h}$

解题步骤 4.1.7.5

从 $h (h + 2 u) + h \cdot - 1$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h + 2 u - 1)}{h}$

解题步骤 4.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{h (h + 2 u - 1)}{h}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $h + 2 u - 1$ 除以 $1$ 。

$h + 2 u - 1$

解题步骤 4.2.2

将 $h$ 和 $2 u$ 重新排序。

$2 u + h - 1$

解题步骤 5

微积分学 示例

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